Question

Situación 1

Circunferencias para el distanciamiento social

Como se sabe, en los espacios públicos de muchos países se han trazado una serie

de circunferencias en el piso para que las personas se ubiquen manteniendo el

distanciamiento social.

Por ese motivo, y respetando los protocolos de seguridad, se encarga a terceros la

labor de trazar circunferencias de distanciamiento en las veredas próximas al ingreso

de locales comerciales.

Supón que te encargan apoyar en esta labor haciendo un plano de cómo quedaría el

trazado de circunferencias sobre un papel. Por ejemplo, ¿cómo quedaría el trazado

y representado a escala, una de las circunferencias con √2 cm de radio? ¿Y si la

representación tuviera √3 cm de radio?​

Answer 1

Respuesta:

¡Hola! Vamos a analizar la situación. Quiero que leas detenidamente lo que te voy a plantear y saques tus propias conclusiones. Ve desempolvando la regla, el semicírculo y el compás. ¡Vamos allá!

Debemos demostrar cómo quedaría el trazado de UNA circunferencia con un radio de √2 cm y otra con un radio de √3 cm. Nos piden solo UNA circunferencia, así que no hará falta dibujar más de una de cada tipo.

La verdadera dificultad del ejercicio radica en que √2 y √3 son NÚMEROS IRRACIONALES... y tienen cifras infinitas, por tanto, si truncamos el número a cierta cantidad de decimales. Digamos 1.41 o 1.73, SIEMPRE ESTAREMOS OBTENIENDO UN RESULTADO INEXACTO.

¿Cómo resolvemos este problema?

Vamos a resolver este problema aplicando el Teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras plantea que, en un triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Esto es:

h² = a² + b²

donde a y b son los catetos, y h la hipotenusa.

Construyamos un triángulo rectángulo donde cada cateto valga 1 cm... ¿Cuánto valdrá la hipotenusa? Comprobemos:

$h= \sqrt{a^2+b^2}\\ \\h = \sqrt{1^2+1^2}\\\\h = \sqrt{2} \;cm$

¡¡¡Bravo!!! Hemos encontrado la forma de obtener un segmento que mida √2 sin usar aproximaciones. Ya sabemos cómo construirlo así que manos a la obra:

1. Tomamos una regla, y trazamos un segmento AB que mida 1 cm.
2. Perpendicular a AB, y cortando a B, trazamos otro segmento BC que mida 1 cm.
3. Por el teorema de pitágoras, el segmento AC medirá √2 cm.
4. Tomamos un compás, colocamos el punto de apoyo en A y el lápiz en C y trazamos la circunferencia. La circunferencia construida tendrá radio √2 cm.

Los resultados se adjuntan en la figura.

Hagamos lo mismo para √3. Esta vez te propongo que usemos el triángulo rectángulo de ángulos 30-60-90. Si recuerdas ese triángulo tiene lados de k, k√3 y 2k. Si le damos valor a k igual 1... entonces a = 1 cm, b = √3 cm y h=2 cm. Comprobemos por pitágoras.

$a^2+b^2=h^2\\b^2 = h^2-a^2\\b = \sqrt{2^2-1^2} \\b= \sqrt{3}\;cm$

¡¡¡Ya lo tenemos!!! Hemos encontrado la forma de obtener un segmento que mida √3 sin usar aproximaciones. Si construimos un triángulo rectángulo de hipotenusa 2 cm y cateto 1 cm, el otro cateto mide √3 cm. Te enumero los pasos para construirlo:

1. Trace una recta horizontal, en nuestro caso usaremos el eje coordenado x como eje horizontal.
2. Mida con un semicírculo 30 grados a partir de esa recta... y trace otra recta que pase por el origen. La intersección de las rectas será A
3. Coloque el punto C a los 2 cm de A en esa recta. Esta será su hipotenusa.(AC = 2 cm)
4. Trace una perpendicular al eje X. En donde corte al nuestra recta horizontal inicial, ese será el punto B (BC = 1 cm)... y tendremos que AB medirá √3 cm.
5. Finalmente tomamos un compás, colocamos el punto de apoyo en A y el lápiz en B y trazamos la circunferencia. La circunferencia construida tendrá radio √3 cm.

Los resultados se adjuntan en la figura.

Parece mucho trabajo... y realmente lo es. En la vida real generalmente usamos aproximaciones porque llega el momento en que las cifras decimales son tan pequeñas que no representan un gran problema. Pero esto es matemáticas... y estamos trabajando números irracionales, por lo que era necesario encontrar la manera más exacta posible de representarlo. Recuerda que un número irracional tiene infinitas cifras decimales.