Question

Siendo el logaritmo

$log_{x} \sqrt[5]{ \sqrt[4]{ \frac{ {x}^{8} \sqrt{n} }{ {c}^{3} } } }$
Determinar la respuesta correcta.

La verdad esque ya lo saqué, pero cuándo vi en mi guía, aparecía otro resultado, así que quiero confirmar de que si estoy bien o estoy mal :D

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Logaritmos

$\textbf{Problema :}$

Exprese el valor de $\boldsymbol{E}$ de distintas formas

$\boldsymbol{E} = log_{x} \left( \sqrt[5]{\sqrt[4]{\dfrac{x^{8}\sqrt{n}}{c^{3}}}} \right)$

RESOLUCIÓN

Antes que nada debemos recordar la siguiente propiedad de radicales:

$\boxed{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}}$

Entonces podemos expresar el valor de $\boldsymbol{E}$ de esta forma.

$\boldsymbol{E} = log_{x} \left( \sqrt[20]{\dfrac{x^{8}\sqrt{n}}{c^{3}}} \right)$

Por propiedad de logaritmos

$\boxed{log_{b}( \textrm{M}^{n}) = n \times log (\textrm{M}) }$

Entonces:

$\boldsymbol{E} = log_{x} \left( \sqrt[20]{\dfrac{x^{8}\sqrt{n}}{c^{3}}} \right) = \dfrac{1}{20} \times log_{x} \left( \dfrac{x^{8}\sqrt{n}}{c^{3}} \right)$

Empleando estas otras propiedades de los logaritmos:

$\boxed{log_{b} (\textrm{M} \times \textrm{N}) = log_{b}(\textrm{M}) + log_{b} (\textrm{N})}$

$\boxed{log_{b} (\textrm{M} \div \textrm{N}) = log_{b}(\textrm{M}) - log_{b} (\textrm{N})}$

Entonces...

$\boldsymbol{E} = \dfrac{1}{20} \times log_{x} \left( \dfrac{x^{8}\sqrt{n}}{c^{3}} \right) = \dfrac{1}{20} \times \left( log_{x} (x^{8}) + log_{x} (\dfrac{\sqrt{n}}{c^{3}}) \right)$

$\boldsymbol{E} = \dfrac{1}{20} \times \left( log_{x} (x^{8}) + log_{x} (\sqrt{n}) - log_{x} (c^{3}) \right)$

$\boldsymbol{E} = \dfrac{log_{x} (x^{8}) + log_{x} (\sqrt{n}) - log_{x} (c^{3})}{20}$

$\boldsymbol{E} = \dfrac{8log_{x} (x) + log_{x} (\sqrt{n}) - log_{x} (c^{3})}{20}$

$\boxed{log_{b} (b) = 1}$

$\boldsymbol{E} = \dfrac{8 + log_{x} (\sqrt{n}) - log_{x} (c^{3})}{20}$

$\boldsymbol{E} = \dfrac{8 + 0,5log_{x} (n) - 3log_{x} (c)}{20}$

$\boldsymbol{E} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{log_{x} (n)}{40} - \dfrac{3log_{x} (c)}{20}$

$\boxed{log_{b} (a) = \dfrac{1}{log_{a} (b)}}$

$\boldsymbol{E} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{40 log_{n} (x)} - \dfrac{3}{20log_{c} (x)}$