Question

Si y=f(u) y u=g(x), donde f y g son funciones dos vecesderivables, demuestre que:d^2y/dx^2 = d^2/du^2 (du/dx)^2 + dy/du * d^2u/dx^2.

Answer 1

La derivada segunda de la función compuesta y=f(g(x)) es $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{du^2}.(\frac{du}{dx})^2+\frac{dy}{du}.\frac{d^2u}{dx}$.

Explicación paso a paso:

Las variables 'x' e 'y' están relacionadas entre sí a través de una función compuesta. Entonces, suponiendo que 'f' y 'g' son dos veces derivables, vamos a aplicar la regla de la cadena para hallar la derivada primera:

$y=f(g(x))=>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}$

Para calcular la derivada segunda de la función compuesta hay que aplicar la regla del producto:

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx})\\\\\frac{d^2y}{dx^2}=(\frac{d^2y}{du^2}.\frac{du}{dx}).\frac{du}{dx}+(\frac{dy}{du}.\frac{d^2u}{dx})\\\\\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{du^2}.(\frac{du}{dx})^2+\frac{dy}{du}.\frac{d^2u}{dx}$