Question

si xy= 20 y dy/dt = 10, encuentre dx/dt cuando x =2​

Answer 1

Recordemos la derivada de un producto:

                                         $\boxed{\sf{\dfrac{d(u\cdot v)}{dx}=u\cdot\dfrac{dv}{dx}+v\cdot\dfrac{du}{dx}}}$

Aplicamos esta propiedad, solo que derivaremos respecto a "t"

                                              $\begin{array}{c}\sf{x\cdot y = 20}\\\\\sf{\dfrac{d}{dt}(x\cdot y) = \dfrac{d}{dt}(20)}\\\\\boxed{\sf{x\cdot \dfrac{dy}{dt} +y\cdot \dfrac{dx}{dt}=0}}\\\end{array}$

Del problema tenemos que $\sf{\dfrac{dy}{dt}=10}$ y $\sf{x = 2}$, pero nos falta el valor de "y", entonces

                                                       $\sf{x\cdot y=20}\\\\\sf{y=\dfrac{20}{x}}\\\\\sf{y=\dfrac{20}{2}}\\\\\boldsymbol{\sf{y=10}}$

Ya con esto reemplazamos en la ecuación que está en el cuadrito de arriba

                                           $\begin{array}{c} \sf{x\cdot \dfrac{dy}{dt} +y\cdot \dfrac{dx}{dt}=0}\\\\\sf{(2)\cdot (10) +(10)\cdot \dfrac{dx}{dt}=0}\\\\\sf{20+10\cdot \dfrac{dx}{dt}=0}\\\\\sf{10 \dfrac{dx}{dt}=-20}\\\\\sf{\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{20}{10}}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\sf{\dfrac{dx}{dt}=-2}}}}\end{array}$

                                            $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$