Question

Si (x0 , y0 ) es una solución del sistema: x2 + xy + y2 = 5 ; x + xy + y = 7 calcula el mayor valor (x0 + y0 ).

Answer 1

Respuesta:

              $3$

Explicación paso a paso:

$x^{2} +xy+y^{2} =5$

$x+xy+y=7$

$Haciendo: x = u+t$

                 $y =u-t$

Sustituyendo:

$(u+t)^{2} +(u+t)(u-t)+(u-t)^{2} =5$

$(u+t)+(u+t)(u-t)+(u-t)=7$

$u^{2} +2ut +t^{2} + u^{2} -t^{2} + u^{2} -2ut+t^{2} =5$     -------      $3u^{2} +t^{2} =5$

$u+t +u^{2} -t^{2} +u-t =7$        ---------------------------      $u^{2} +2u-t^{2} =7$

                                                                                    ________________

                                                                                      $4u^{2}$ $+2u$        $=12$

$4u^{2} +2u-12=0$

Por Factorización :

$4 ( 4u^{2 } +2u -12 =0) , entonces: (4u)^{2} +2 (4u ) - 48=0$

$(4u+ 8)(4u-6)=0$

$4u+8 =0 ; 4u-6 =0$

$u = \frac{-8}{4} =-2 ; u =\frac{6}{4} =\frac{3}{2}$

Sustituyendo en :

$3u^{2} +t^{2} =5$

$3(-2)^{2} +t^{2} = 5 ,entonces: 12+t^{2} =5$

$t^{2} =5-12,entonces: t = \sqrt{-7}$

$3 ( \frac{3}{2})^{2} +t^{2} = 5,entonces: t^{2} = 5-\frac{27}{4}$

$t = \sqrt{\frac{-7}{4} } = \frac{\sqrt{-7} }{2}$

Sustituyendo en :

$x = u+t$

$x = -2+\sqrt{-7}$

$x = \frac{3}{2} +\frac{\sqrt{-7} }{2} = \frac{3+\sqrt{-7} }{2}$

$y = u-t$

$y = -2-\sqrt{-7}$

$y = \frac{3-\sqrt{-7} }{2}$

$Soluciones: ( x, y ) = ( -2+\sqrt{-7} , -2-\sqrt{-7} )$

                  $: ( x, y) = (\frac{3+\sqrt{-7} }{2} ,\frac{3-\sqrt{-7} }{2} )$

$Luego; x+y = (-2+\sqrt{-7} )+ (-2-\sqrt{-7} ) = -4 +0$

$x+y = -4$

$x+y =( \frac{3}{2} +\frac{\sqrt{-7} }{2} )+(\frac{3}{2} -\frac{\sqrt{-7} }{2} )$

$x+ y = 3$

El mayor valor de ( x + y )  es :    3