Question

Si x > y son dos enteros positivos mayores que 10 que cumplen que x² - y² = 2020, ¿cuántos valores diferentes puede tomar el número x?

Answer 1

Esta es otra forma más simplificada de resolver la pregunta (la primera se encuentra en https://brainly.lat/tarea/14053220)

Tenemos que:

$x^2-y^2=2020$

Por diferencia de cuadrados:

$(x+y)(x-y)=2020\\u*v=2020$

Deducimos aquí que "u", "v" o ambos deben ser pares, para que el resultado sea par.

Sabemos también que:

$u+v=(x+y)+(x-y)=2x\\\\x=\frac{u+v}{2} \\\\u-v=(x+y)-(x-y)=2y\\\\y=\frac{u-v}{2}$

Como (u+v) y (u-v) están divididos por 2, entonces u y v deben ser ambos pares o ambos impares. Como obligatoriamente uno de ellos es par, entonces u y v deben ser pares.

Factorizamos 2020:

$2020=2^2*5*101$

Tenemos entonces que las combinaciones posibles para u y v son:

u=2 ; v=2*5*101

u=2*5 ; v=2*101

u=2*101*5 ; v=2

u=2*101 ; v=2*5

u=-2 ; v=-2*5*101

u=-2*5 ; v=-2*101

u=-2*101*5 ; v=-2

u=-2*101 ; v=-2*5

Tenemos 8 posibilidades. Como x es un número entero positivo, descartamos las 4 últimas, y además descartaremos las dos primeras ya que si v>u, entonces y<0.

Luego:

$x=\frac{1010+2}{2}=506\\ \\x=\frac{202+10}{2}=106$

Siendo los valores posibles para x iguales a 506 y 106.