Si X es una variable normal con media 90 y desviación estándar de 20, calcule las siguientes probabilidades
a. p(x ≤ 100)
b. p(x ≤ 80)
c. p(65 ≤ x ≤ 100 )
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Explicación:
Supongo que el ejercicio está propuesto para resolverlo con tablas, aunque se puede resolver con programas de ordenador (por ejemplo, Geogebra). Tablas hay muchas en los libros de texto o en la red.
Las tablas son de la distribución normal de media 0 y desviación 1, por lo que hay que transformar las variables mediante el proceso que se llama tipificación:
z = (x-μ)/σ donde μ es la media y σ la desviación.
Así pues, como en el caso propuesto, μ = 90 y σ = 20, es z = (x-90)/20
a.
Para x = 100, z = (100-90)/20 = 0.5
Ahora buscamos en la tabla la entrada de línea 0.5 y obtenemos la probabilidad pedida: 0.6915
b.
Para x = 80, z = (80-90)/20 = -0.5
Pero la tabla solamente presenta valores para la z >0, así que calculamos el área para z<0.5 que, por simetría de la tabla, es 1-Pr(z<0.5).
La Pr(z<0.5) = [calculada anteriormente en a.] = 0.6915.
Luego la probabilidad pedida es de Pr(z<-0.5) = 1 – 0.6915 = 0.3085
c.
Para x = 100, z = (100-90)/20 = 0.5
Para x = 65, z = (65-90)/20 = -1.25
Pr(x≤100) = [ya calculada en a.] = 0.6915
Pr(x≤ 65) = Pr(z≤-1.25) = 1- Pr(z≤1.25) = 1-0.8944 = 0.1056
Pr(65 ≤ x ≤ 100 ) = Pr(x≤100) - Pr(x≤65) = 0.6915-0.1056 = 0.5859.