Matemáticas, pregunta formulada por filux, hace 1 año

Si :
x^2+y^2+z^2 ≥ xy +yz +zx+K(x-y)^2 , si se cumple para todo numero real , halla el maximo valor de K , la solucion que sea muy detallada .

Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
1
x^2+y^2+z^2 \geq xy +yz +zx+K(x-y)^2\\ \\ 
(1)~~\text{Si }x=y\text{ entonces}\\ \\
2x^2+z^2\geq x^2 +2zx\\ 
x^2+z^2\geq  2zx\\ \\
\text{Se deduce que K puede ser cualquier valor}\\ \\
(2)~~\text{ahora supongamos que }x\neq y\\ \\
K\leq \dfrac{x^2+y^2+z^2 - xy -yz -xz}{(x-y)^2}=\dfrac{(x-z)(y-z)}{(x-y)^2}+1\\ \\ \\
\text{Si }z=x\text{ o bien }z=y\text{ entonces }K\leq 1. ~~\text{Hasta aqu\'i }K\in (-\infty,1] \\ \\


\text{Ahora toca ver si es posible acotar la funci\'on }\\ \\
\hspace*{3cm}f(x,y,z)=\dfrac{(x-z)(y-z)}{(x-y)^2}\\ \\ \\
(a)~\text{Puntos cr\'iticos}\\ \\
f_x=-\dfrac{(x + y - 2 z) (y - z)}{(x - y)^3}=0\\ \\ \\
f_y=\dfrac{(x + y - 2 z) (x - z)}{(x - y)^3}=0\\ \\ \\
f_z=-\dfrac{x + y - 2 z}{(x - y)^2}=0\\ \\ \\
P=\left(x,y,\dfrac{x+y}{2}\right)


(b)~\text{Clasificaci\'on de }P: \\ \\
f_{xx}(P)=\dfrac{1}{2(x-y)^2}~,~f_{xy}=f_{yx}=\dfrac{1}{2(x-y)^2}~,~f_{xz}=f_{zx}=-\dfrac{1}{(x-y)^2}\\ \\ \\
f_{yy}(P)=\dfrac{1}{2(x-y)^2}~,~f_{zz}=\dfrac{1}{(x-y)^2}~,~f_{yz}=f_{zy}=-\dfrac{1}{(x-y)^2}\\ \\ \\
\text{Segunda diferencial de }f\\ \\
D^2f=f_{xx}(dx)^2+f_{yy}(dy)^2+f_{zz}(dz)^2+2(f_{xy}dx\,dy+f_{xz}dx\,dz+\cdots\\ 
~~~~~~~~~+f_{yz}dy\,dz)

\text{... evaluando en P:}\\ \\
D^2f(P)=\dfrac{1}{(x-y)^2}\left[\dfrac{(dx)^2}{2}+\dfrac{(dy)^2}{2}+2(dz)^2+\dfrac{dx\,dy}{2}-dx~dz-dy~dz\right]\\ \\ \\
D^2f(P)=\dfrac{1}{(x-y)^2}\left[\dfrac{1}{4}\left(dx+dy-2dz\right)^2+\dfrac{(dx)^2}{4}+\dfrac{(dy)^2}{4}+(dz)^2\right]\\ \\ \\
D^2f(P)\ \textgreater \ 0\\ \\ \\
\text{Por ende }P\text{ es un punto de m\'inimo }\\ \\ 
f(P)=-\dfrac{1}{4}\Longrightarrow K\leq -\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{3}{4}\\ \\ \\
\text{Por ende }\boxed{K_{\max}=\dfrac{3}{4}}

Este es el mayor valor de K para que cumpla tal desigualdad para cualesquiera valores de x, y & z. 

filux: Estos problemas suelen venir en olimpiadas , ¿conoce un libro donde la teoría sea útil par estos problemas , de máximos y mínimos , no solo en desigualdades sino es funciones , expresiones racionales , potencias ,etc?
CarlosMath: Con respecto a tu pregunta inicial, la función de la derecha no está acotada superiormente, el punto (1) da indicio sobre eso, lo que sucede es que para valores de K mayores a 3/4 los x, y & z ya no serían "cualesquiera valores" sino más bien "ciertos valores". Si la función fuese acotada superiormente tomaríamos su cota superior como el máximo valor de K.
CarlosMath: Respecto a la segunda pregunta ¿no existe otra solución? Tal vez, con ayuda de ciertas identidades y/o propiedades que se dan en ciertos textos sin demostración por que salen del margen de estudio. Pude haber colocado que (x-z)(y-z)/(x-y)^2 <= -1/4 sin más, pero a la hora de preguntarse sobre la demostración hubiese recurrido a la optimización de funciones en varias variables.
CarlosMath: El cálculo básico sobre optimización siguiendo solamente propiedades algebraicas elementales solo ayudaría para acotar funciones polinómicas más no para hallar sus valores extremos (salvo en algunos casos, pura coincidencia), de otra forma jamás se hubiese hecho un estudio de optimización de funciones en varias variables con ayuda de las derivadas (simples o parciales).
CarlosMath: Ahora los libros que conozco sobre funciones son para un nivel de matemática superior, no conozco libros de matemática básica que aporten mucho en este aspecto, tal vez lo hayan pero desconozco.
filux: ¿Porque dices función , cuando esta expresada como desigualdad ?
filux: Existen desigualdades ya demostradas pero solo ayudan para ciertos problemas , no todas son efectivas si es así entonces es mejor ¿ resolver mediante optimización ? ,
CarlosMath: Cuando digo función me refiero a la expresión algebraica racional
CarlosMath: Depende del problema, es decir qué te pidan.
CarlosMath: Uno utiliza la optimización como un recurso
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