. Si un número muy grande de ejemplos cumple la clausuratividad, ¿se puede concluir que
la propiedad siempre se cumple?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Sea A un conjunto numérico en el cual se ha definido la operación . Si para a = b se tiene que a c = bc para todo número a, b y c de A se dice que en A se cumple la propiedad uniforme para .
Si para a y b números de A se tiene que ab está en A, se dice que en A se cumple la propiedad clausurativa para .
Si para a y b números de A se tiene que ab = ba, se dice que en A se cumple la propiedad conmutativa para la operación .
Si para a, b y c números de A se tiene que (ab)c = a(bc) se dice que en A se cumple la propiedad asociativa para la operación .
Si existe un único número n en A que satisfaga la condición an = na = a para cualquier a de A, se dice que en A se cumple la propiedad del neutro o módulo para la operación . Al número n se le llama neutro para la operación .
Si para cualquier elemento a de A existe un único elemento x de A que satisfaga que ax = xa = n, se dice que en A se cumple la propiedad del inverso para la operación .
Si en A se define otra operación y si para a, b y c números de A se satisface que a (b c) = (ab)(ac), se dice que en A se cumple la propiedad distributiva de la operación con respecto a la operación .
20+5=25 es un ejemplo donde se verifica, no se demuestra porque un ejemplo no demuestra la regla general pero un contraejemplo si comprueba la falsedad de la afirmación, que se cumple la propiedad clausurativa para la suma y se puede observar en los Números Naturales o Enteros o Racionales o Reales, pero no sirve de ejemplo en los Irracionales porque 20, 5 y 25 no son Irracionales.
√2 x √8 = 4 es un ejemplo donde se cumple la propiedad clausurativa para la multiplicación de números reales, pero no se cumple dicha propiedad para el conjunto de los números irracionales porque √2 y √8 son irracionales y 4 no lo es.
-2 x (-2 x 5) = + (-2 x 3) es equivalente a tener -2 x 8 = (-10) + (-6) y se obtiene que -16 = -16 es un ejemplo de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma de Números Enteros ó Racionales ó Reales porque -2, 5 y 3 pertenecen a dichos conjuntos, pero no se pueden mencionar los números Naturales ni los Irracionales porque todos los números que intervienen en el ejemplo, -2, 5 y 3 no pertenecen a ellos.
5.31311311131111... + 4.0202202220222... = 9.3333333 es equivalente a tener es un ejemplo de la propiedad clausurativa para la suma de Números Reales porque 5.31311311131111..., 4.02022022202222 y 9.3333333 los son, pero no se pueden utilizar como ejemplo en los conjunto numéricos de los Naturales, Enteros, Racionales ni Irracionales. Como inicialmente 5.31311311131111... y 4.02022022202222... son Números Irracionales, se puede concluir que en este conjunto numérico no se cumple la propiedad clausurativa para la suma porque en este caso el resultado es un número racional.
-√3 + 0 = 0 + (-√3) = -√3 es un ejemplo de la propiedad del neutro para la suma de Números Reales porque -√3 y 0 pertenecen al conjunto de los Reales, pero no es ejemplo para los Números Naturales, Enteros, Racionales ni Irracionales, ambos números no hacen parte de esos conjuntos numéricos. Pero algo que si se puede concluir es que no se cumple la propiedad del neutro para la suma de Números Irracionales porque 0 no es irraciona.
Para el conjunto de los números irracionales con la operación resta o diferencia, que se denota por –, se cumple por axioma:
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a – c = b – c para todos los números irracionales a, b y c.
La propiedad clausurativa porque la resta de dos números irracionales no siempre da otro número irracional. Por ejemplo: π - π = 0 .
La propiedad conmutativa porque el orden de los términos en la resta altera el resultado. Por ejemplo: √2 - 3√2 ≠ 3√2 -√2 porque -2√2 ≠ 2√2 .
La propiedad clausurativa porque la resta de dos números irracionales no siempre da otro número irracional. Por ejemplo: π - π = 0 .
La propiedad conmutativa porque el orden de los términos en la resta altera el resultado. Por ejemplo: √2 - 3√2 ≠ 3√2 -√2 porque -2√2 ≠ 2√2 .
Como no existe el número irracional n no se puede verificar la propiedad del inverso que dice que para todo número irracional a existe un único número irracional x que satisfaga que a – x = x – a = n.
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a x c = b x c para todos los números irracionales a, b y c.
La propiedad asociativa porque (a x b) x c = a x (b x c) para todos los números irracionales a, b y c.
La propiedad clausurativa porque la multiplicación de dos números irracionales puede dar un número racional. Por ejemplo: √2 x √8 = 4.
No existe el número irracional n que cumpla que a x n = n x a = a para cualquier número irracional a, porque dicho número es el uno y no es irracional.:
La propiedad del inverso no se puede verificar porque no existe el neutro
La propiedad uniforme porque si a = b se tiene que a/c = b/c para todo número irracional a, b y c.
No cumple:
La propiedad clausurativa porque la división de dos números irracionales no siempre da otro número irracional. Por ejemplo: √8 / √2 = 2 y 2 no es un número irracional.
La propiedad clausurativa porque la suma de dos números irracionales puede dar un número racional. Por ejemplo: 5.31311311131111... +4.02022022202222... = 9.3333333...
No existe el único número irracional n que cumpla que a + n = n + a = a para cualquier número irracional a porque dicho número n tendría que ser cero y cero es un número racional.