Si un cuadrado tiene 8m de lado y otro cuadrado 6m de lado. Calcule la razón geométrica de sus áreas
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Si para un cuadrado de 8 cm de lado se unen los puntos medios se obtiene otro cuadrado inscrito en el anterior y si repetimos este proceso obtenemos una progresion de infinitos cuadrados y a su vez las áreas de los infinitos cuadrados forman una progresión geométrica, entonces:
Para las áreas: A
An = 64*(1/4)^(n-1) , Con lo que se comprueba que las áreas de los infinitos cuadrados forman una progresión geométrica
Además, para la suma de todas las áreas:
∑ desde n= 1 hasta n= ∞
∑An = ∑(64*(1/4)^(n-1))
Por definición:
Una progresión geométrica es una sucesión de números reales en la que el elemento siguiente se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión.
Según:
An = A1*r^(n-1)
Luego, hallemos primeros los primeros lados y las áreas que se generan como consecuencia de la progresión ( dada por los siguiente: si para un cuadrado de 8 cm de lado se unen los puntos medios se obtiene otro cuadrado inscrito en el anterior si repetimos este proceso obtenemos una progresion de infinitos cuadrados y a su vez las áreas de los infinitos cuadrados forman una progresión geométrica):
Lados (cm) Areas (cm^2)
8 64
8/2 = 4 16
4/2 = 2 4
2/2 = 1 1
1/2 = 0,5 0,25
0,5/2 = 0,25 0,125
Para obtener la razón de una progresión geométrica solo se divide un término cualquiera entre el término anterior, es decir:
r = An / (A(n - 1)), consideremos los primeros terminos de la progresión de áreas:
r = 16/64
r = 1/4
Luego,
La progresión de las áreas es:
An = A1*(1/4)^(n-1)
A1: 64
An = 64*(1/4)^(n-1) , Con lo que se comprueba que las áreas de los infinitos cuadrados forman una progresión geométrica
La suma de todas las áreas es:
Considerando:
∑ desde n= 1 hasta n= ∞
∑An = ∑(64*(1/4)^(n-1))