Question

si tu cartulina mide 14.5cm alto por 16cm de base el mayor volumen de la caja lo obtienes cortando x
¿cual es el valor de x?
y el area de la base sera de ¿?
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Answer 1

El valor de x que debe ser cortada de la cartulina para construir la caja es:

x = 2.5

El área máxima de la caja es: 104.5 u²

¿Cuál es el valor de x, y el área de la base sea máxima?

El área de un rectángulo es el producto de sus lados.

A = largo × ancho

El volumen de una caja rectangular es el producto de sus dimensiones.

V = largo × ancho ×  alto

Siendo;

• largo = 14.5 - 2x
• ancho = 16 - 2x
• alto = x

Sustituir;

V(x) = (14.5 - 2x)(16 - 2x)(x)

V(x) = (232 -29x - 32x + 4x²)(x)

V(x) = 232x - 61x² + 4x³

Aplicar derivada;

V'(x) = 232x - 61x² + 4x³

• d/dx(232x) = 232
• d/dx(61x²) = 122x
• d/dx(4x³) = 12x²

sustituir;

V'(x) = 232 - 122x + 12x²

Igualar a cero;

0 = 232 - 122x + 12x²

Aplicar resolvente;

$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

siendo;

• a = 12
• b = 122
• c = 232

sustituir;

$x_{1,2}=\frac{-122\pm\sqrt{122^{2}-4(12)(232)}}{2(12)}$

x₁ = 7.6

x₂ = 2.5

Evaluar para determinar el valor de x que genera e mayor volumen.

x₁ = 7.6

V(7.6) = 232(7.6) - 61(7.6)² + 4(7.6)³

V(7.6) = -4.256 u³

x₂ = 2.5

V(2.5) = 232(2.5) - 61(2.5)² + 4(2.5)³

V(2.5) = 261.25 u³

El área máxima es:

A(max) = (14.5 - 2x)(16 - 2x)

A(max) = 232 -29x - 32x + 4x²

A(max) = 232 - 61x + 4x²

Evaluar x = 2.5;

A(max) = 232 - 61(2.5) + 4(2.5)²

A(max) = 104.5 u²

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