Question

Si: Tg (x + 12º) = Ctg (8x – 21º) Hallar el valor de: V = Sen2 (4x + 1º) + Ctg2 (3x – 3º)

Answer 1

Respuesta:

para simplicar y visualizar mejor el problema, se va a cambiar por unas variables, como se explica:

a=x+12;

b=8x-21;

y se va a emplear las siguientes identidades trigonometricas;

(1) $tan(\alpha )=\frac{sen(\alpha) }{cos(\alpha) }$

(2) $cot(\alpha) =\frac{cos(\alpha) }{sen(\alpha) }$

(3) $sen (\alpha )*sen(\beta )=\frac{1}{2}*[cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )]$

(4) $cos (\alpha )*cos(\beta )=\frac{1}{2}*[cos(\alpha +\beta )+cos(\alpha -\beta )]$

estas identidades las puedes encontrar en cualquier texto, yo recomiendo uno local, se llama fundamentos de matemáticas de la espol

Explicación paso a paso:

comenzemos con el cambio de variable.

Tan (x+12°)=Cot (8x-21)

Tan (a) = Cot (b), ....utilicemos la identidad (1)

$\frac{sen (a)}{cos (a)} =\frac{cos (b)}{sen (b)}$

$sen (a)*sen(b) = cos (a)* cos (b)$, empleamos la identidad (3) y (4)

$\frac{1}{2} *[cos(a-b) - cos(a+b)]=\frac{1}{2} *[cos(a+b)+cos(a-b)]$, simplificamos el 1/2

$cos (a-b)-cos(a+b)=cos(a+b)+cos(a-b)$, agrupamos terminos iguales

$cos (a-b)-cos(a-b)=cos(a+b)+cos(a+b)$, y nos queda

$0=2cos(a+b)$;

$cos(a+b)=0$     ....finalmente despejamos a y b, sería así:

$a+b=arcCos(0)$; esto podemos introducirlo en la calculadora o simplemente pensarlo por unos minutos, siempre y cuando tengas conocimientos de trigonometria, por ejemplo ¿cuanto debe ser el ángulo para que el coseno de ese mismo ángulo sea cero? (basicamente ese sería la razon de aplicar una función arcotrigonométrica), bueno contestando lo anterior, hay varias respuestas, esto debes preguntar en tu clase o darla como una inquietud, puesto que en la mayoria de ecuaciones trigonometricas, tienen varias soluciones, obviamente escoger una de ellas o todas (lo cual sería muy minucioso) no está mal, asi que si vosss coges una o todas las respuestas está bien.

volviendo a la pregunta; ¿cuanto debe ser el ángulo para que el coseno de ese mismo ángulo sea cero?

ese ángulo podría ser: 90°, 270°, 450°.... y podría extenderse e incluso podria tomarse angulos negativos como respuesta (nota: si pones arcCos(0) en la calculadora, depende como esté configurada, podría darte la resp en grados o radianes, si es lo segundo deberia ser π/2).

para no extendernos escogeremos la respuesta de 90°, entonces tenemos:

a+b=90°, ahora volvemos a nuestras variables iniciales.

$(x+12)+(8x-21)=90$, agrupamos

9x-9°=90°

x=99°/9°

x=11°, nuestra solución basada en que el arcCos(0)=90°

continuamos con:

$V=sen^{2} (4x+1)+cot^{2} (3x-3)$

$V=sen^{2} (4*11+1)+cot^{2} (3*11-3)$

$V=sen^{2} (42)+cot^{2} (30)$

$V=(0.6691)^{2} +(\sqrt{3} )^{2}$

$V=3.4477$, esta es la respuesta final a tu problema, nuevamente recalcando siempre y cuando nuestra solución previa escogida ha sido arcCos(0)=90°,....saludos