Question

Si $x^{2}$ + $y^{2}$ = $r^{2}$ Demostrar que |$\frac{y''}{[1+(y '){2} ]\frac{3}{2} }$| = $\frac{1}{r}$

Answer 1

Buenas :D

Para este ejercicio se usarán derivadas.

Dada la ecuación implícita:

$x^{2} +y^{2} =r^{2}$

Lo trataremos de dejar de forma explícita (despejar a $y$):

$y^{2}=r^{2}-x^{2} \to y=\pm \sqrt{r^{2} -x^{2} }$

Tendremos 2 ecuaciones:

$\left \{ {{y_{1}=\sqrt{r^{2}-x^{2} } } \atop {y_{2}=- \sqrt{r^{2}-x^{2} } }} \right.$

Usemos $y_{2}$.

Podemos expresar dicha función de la siguiente manera:
$y_{2}=-(r^{2}-x^{2} )^{\dfrac{1}{2} }$

Al hacer este tipo de derivadas tenemos:

$\boxed{y=u^{n} \to y\prime =nu^{n-1} u\prime}$

En este caso, $u=r^{2}-x^{2}$, $n=\dfrac{1}{2}$, y al hacer la derivada de u, se debe recordar que r es una constante, por lo que la derivada de una constante es 0, cosa que no sucede al derivar $-x^{2}$, que su derivada es $-2x$.

Entonces, hacemos la primera derivada:

$y\prime_{2} =-(\dfrac{1}{\cancel{2}})(r^{2}-x^{2} ) ^{-\dfrac{1}{2} } (-\cancel{2}x)\\ y\prime_{2}=(r^{2}-x^{2} )^{-\dfrac{1}{2} } (x)$

Reescribimos:

$\boxed{\boxed{y\prime_{2}=\dfrac{x}{\sqrt{r^{2}-x^{2} } }}}$

Si queremos hacer la segunda derivada, debemos usar la derivada de una división, sea:

$\boxed{y=\dfrac{p}{q}\to y\prime =\dfrac{q*p\prime-p*q\prime}{q^{2} } }$

En este caso, $p=x$, $q=\sqrt{r^{2} -x^{2} }$

Si te das cuenta, la derivada de q es como si hicieras la primera derivada de $y_{2}$, por lo que podemos copiar el valor que nos dio.

Entonces, sustituyendo:

$y\prime \prime_{2} =\dfrac{\sqrt{r^{2}-x^{2} }-(x)(\dfrac{1}{2})(r^{2}-x^{2} )^{-\dfrac{1}{2} } (-2x) }{[(r^{2}-x^{2} )^{\dfrac{1}{2} } ]^{2} } }\\y\prime \prime_{2}=\dfrac{\sqrt{r^{2}-x^{2} } +\dfrac{x^{2} }{\sqrt{r^{2}-x^{2} } } }{r^{2}-x^{2} }$

En el numerador encontraremos el factor común:

$y\prime \prime_{2}=\dfrac{\dfrac{r^{2}-x^{2}}{\sqrt{r^{2}-x^{2}} } +\dfrac{x^{2} }{\sqrt{r^{2}-x^{2} } } }{r^{2}-x^{2} }\to \texttt{Se elimina}\:x^{2} \\y\prime \prime_{2}=\dfrac{\dfrac{r^{2} }{\sqrt{r^{2}-x^{2} } } }{\dfrac{r^{2}-x^{2} }{1} } \to \texttt{Se aplica extremos y medios}\\\boxed{\boxed{y\prime \prime_{2}=\dfrac{r^{2} }{(r^{2} -x^{2} )^{\dfrac{3}{2} } } }}$

Lo único que nos queda es sustituir en la expresión dada, que no es más que una ecuación diferencial.

Empecemos por desarrollar lo del denominador:

$|[1+(y\prime)^{2} ]^{\dfrac{3}{2} } |=|[1+(\dfrac{x}{\sqrt{r^{2}-x^{2} } } )^{2}]^{\dfrac{3}{2} } | \\=|[1+\dfrac{x^{2} }{r^{2}-x^{2} } ]^{\dfrac{3}{2} } |\\=|[\dfrac{r^{2}-x^{2}}{r^{2}-x^{2}} +\dfrac{x^{2} }{r^{2}-x^{2}} ]^{\dfrac{3}{2} } |\\=(\dfrac{r^{2} }{r^{2}-x^{2} } )^{\dfrac{3}{2} } \\=\dfrac{(r^{2} )^{\dfrac{3}{2} } }{(r^{2}-x^{2} )^{\dfrac{3}{2} } } \\=\bf{\dfrac{r^{3} }{(r^{2}-x^{2} )^{\dfrac{3}{2} }}}$

Entonces:

$\dfrac{y\prime \prime_{2} }{|[1+(y\prime _{2} )^{2} ]^{\dfrac{3}{2} } } =\dfrac{\dfrac{r^{2} }{(r^{2}-x^{2} )^{\dfrac{3}{2} } } }{\dfrac{r^{3} }{(r^{2}-x^{2} )^{\dfrac{3}{2} }} }$

Se simplifican ambos denominadores, ya que son lo mismo:

$\dfrac{y\prime \prime_{2} }{|[1+(y\prime _{2} )^{2} ]^{\dfrac{3}{2} } } =\dfrac{r^{2} }{r^{3} }\\ \boxed{\bf{\dfrac{y\prime \prime_{2} }{|[1+(y\prime _{2} )^{2} ]^{\dfrac{3}{2} } } =\dfrac{1}{r} }}$

Espero haberte ayudado, saludos cordiales AspR178 !