Question

Si tenemos en cuenta que la carga Q en el capacitor de un circuito RLC queda descrita por:Lq ̈(t)+Rq ̇(t)+1/C q(t)=E(t), donde L es la Inductancia, R la resistencia, C la capacitancia y E la fuente de voltaje. Como la resistencia de un resistor se incrementa con la temperatura, supongamos que el resistor se calienta de modo que
R(t)=1+t/10 Ω.
Si L=0,1 henrios,C=2 faradios,E(t)= 0,q(0)= 10 coulombs y q ̇(0)=0 A

Answer 1

Nos queda la ecuación descrita:

Lq ̈(t)+Rq ̇(t)+1/C q(t)=E(t)

R = temperaturat = buscamos un valor para esta variable y calcular la ecuación auxiliar

si t=0  entonces  R=1Ω

Se sustituyen los valores en la ecuación original:

0.1q ̈(t)+q ̇(t)+1/2 q(t)=0

sustituir q(t) por m

0.1m2 + m + ½ = 0

El valor de m lo hallamos a través de la ecuación cuadrática y tenemos que:

m1 = -5+2√5m2 = -5-2√5

Por tanto, nuestra ecuación auxiliar es:

q(t)=C1e^(m1t)+C2e^(m2t)

q (t) = C1e^(-5+2√5)t + C2e^(-5-2√5)t  (I)

Evaluamos la ecuación (I) en las condiciones iniciales

q(0)=C1+C2   (II)

q'(t)= (-5+2√5)C1e^(-5+2√5)t + (-5-2√5)C2e^(-5-2√52)t

q'(0)=(-5+2√5)C1 + (-5-2√5)C2  (III)

10- C1=C2  (IV)-(-5+2√5)C1/(-5-2√5) = C2  (V)

Por igualación vamos a igualar (IV) y (V) para encontrar el valor de las constantes:

10 - C1= -(-5+2√5)C1 / (-5-2√5)
10 = -(-5+2√5)C1 / (-5-2√5)+C1
10 = C1(-(-5+2√5)/(-5-2√5)+1)
10 = C1(-8+4√5)
C1 = 10 / (-8+4√5)
C2 = 10-10/(-8+4√5)

Nuestra ecuación final será:
q(t)= 10 / (-8+4√5)e^(-5+2√5)t + [10-10/(-8+4√5)]e^(-5-2√52)t