Question

Si: tanx+cotx=4
calcula: E=sec²x+csc²x​

Answer 1

Respuesta:

Si: tanx+cotx=4

calcula: E=sec²x+csc²x​

Tan(x)+Cot(x) = 4

Se resta 4 a los lados de la igualdad :

Tan(x)+Cot(x)-4 = 4-4

Tan(x)+Cot(x) = 0

Se reescribe Cot(x) , usando que Cot(x) = ( 1/(Tan(x))) :

Tan(X)+(1/(Tan(X))-4 = 0

Tan(X)/1+(1/(Tan(X))-(4/1) = 0

((Tan²(X)+1)/(1×Tan(X ))-4/1 = 0

((Tan²(X)+1))/(Tan(X))-4/1 = 0

(((1×Tan²(X))-(4(Tan(X))+1)/Tan(X)) = 0

((Tan²(X)-4Tan(X)+1)/Tan(X)) = 0

Se multiplica " Tan(X) " a los dos lados de la igualdad :

Tan(X)((Tan²(X)-4Tan(X)+1)/Tan(X)) = 0(Tan(X))

Así resulta que :

Tan²(X)-4Tan(X)+1 = 0

Como vemos ahora se forma ina ecuación de segundo grado y esta es " Tan²(X)-4Tan(X)+1 = 0 " y para resolverla emplearemos una herramienta matemática llamada " cambio de variable " que nos permite resolver un cálculo de una forma más fácil y en eate caso al usar el cambio de variable se establecera que :

Tan(X) = p

Por lo cual al realizar el cambio de variable la ecuación resultante quedaría así :

p²-4p+1 = 0

La ecuación cuadrática resultante "

p²-4p+1 = 0 " la resolveremos mediante el método de Completación de cuadrados :

Completación de cuadrados :

p²-4p+1 = 0

Se resta " 1 " a los dos lados de la igualdad :

p²-4p+1-1 = 0-1

p²-4p = -1

Se extrae la mitad del término del medio que es 4 :

4 ÷ 2 = 2

Se suma " 2 " elevado al cuadrado a ambos lados de la igualdad :

p²-4p+(2)² = -1+(2)²

p²-4p+4 = -1+4

p²-4p+4 = 3

Se comprime la expresión " p

²-4p+4 " usando que " a²-2a+b² = ( a-b ) ² y así resulta que :

p²-4p+4 = ( p-2 )²

En consecuencia de lo anterior se tiene que :

( p-2 )² = 3

Se saca raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad :

√(p-2) = +-√(3)

p-2 = +-√(3)

Se suma 2 a los dos lados de la igualdad :

p-2+2 = +-√(3)+2

p = +-√(3)+2

Se usa propiedad conmutativa para reordenar los términos :

p = 2+-√(3)

Se halla los valores de " p " :

p1 = 2-√(3)

p2 = 2+√(3)

Se regresa el cambio de variable p = Tan(X) y así se tiene que :

Tan(X) = 2-√(3) y Tan(X) = 2+√(3)

Se determinanos valores de " x " empleando la tangente inversa :

X1 = Tan⁻¹(2-√(3))

X1 = 15°

X2 = Tan⁻¹(2+√(3))

X2 = 75°

Como consecuencia de lo anteriormente realizado se sabe que " X " vale tanto 15° como 75° .

Calculamos E = Sec²(x)+Csc²(x) ; con x1 = 15 ° :

E = Sec²(15°)+Csc²(15°)

E = 1,072+14,928

E = 16

Calculamos E = Sec²(x)+Csc²(x) con x2 = 75 ° :

E = Sec²(75°)+Csc²(75°)

E = 14,928+1,072

E = 16

R// Por lo observado y realizado con anterioridad se sabe que la expresión " E = Sec²(x)+Csc²(x) " vale 16 con los 2 valores de " x. " .

Explicación paso a paso: