Question

Si tanx + cotx = 3, calcule: tan^6 x + cot^6 x

Answer 1

Respuesta a tu pregunta que involucra Álgebra e identidades trigonométrica:

$tan^6(x)+cot^6(x)=322$

Explicación paso a paso:

Hola!

Partiremos de elevar nuestra primera ecuación al cuadrado:

$[tan(x)+cot(x)]^2=3^2$

con lo que nos queda:

$tan^2(x)+2tan(x)cot(x)+cot^2(x)=9$

aplicamos la propiedad:

$tan(x)cot(x)= \frac{1}{cot(x)}*cot(x)=1$           propiedad 1

Nos queda:

$tan^2(x)+2(1)+cot^2(x)=9\\tan^2(x)+cot^2(x)=7$                   ec.1

Pero necesitamos que nuestras identidades trigonométricas esten elevadas a la sexta, entonces repitamos el mismo proceso elevando todo al cubo:

$[tan^2(x)+cot^2(x)]^3=7^3$

elevar al cubo es multiplicar tres veces por la misma cantidad, hagamoslo por partes para que quede más claro:

$tan^4(x)+2tan^2(x)cot^2(x)+cot^4(x)\\tan^4(x)+2(1)+cot^4(x)\\tan^4(x)+cot^4(x)+2$

multipliquemos nuevamente por $tan^2(x)+cot^2(x)$, nos queda:

$[tan^2(x)+cot^2(x)]*[tan^4(x)+cot^4(x)+2]\\tan^6(x)+tan^2(x)cot^4(x)+2tan^2(x)+cot^2(x)tan^4(x)+cot^6(x)+2cot^2(x)=7^3$

aplicando la propiedad 1:

$tan^6(x)+cot^6(x)+2tan^2(x)+2cot^2(x)] +\frac{1}{cot^2(x)}cot^4(x)+cot^2(x)\frac{1}{cot^4(x)}=7^3$

$tan^6(x)+cot^6(x)+2tan^2(x)+2cot^2(x)] +cot^2(x)+tan^2(x)=7^3$

juntamos términos:

$tan^6(x)+cot^6(x)+3tan^2(x)+3cot^2(x)=7^3\\tan^6(x)+cot^6(x)+3[tan^2(x)+cot^2(x)]=343$

De la Ec.1 sabemos que $tan^2(x)+cot^2(x)=7$, sustituyendo:

$\tan^6(x)+cot^6(x)+3[7]=343$

Finalmente:

$\tan^6(x)+cot^6(x)=343-21\\\tan^6(x)+cot^6(x)=322$