Question

Si sólo se cuenta con 3 puntos pertenecientes al plano, ¿cómo se obtiene un vector
sobre el plano (del plano) y un vector normal al plano?

Answer 1

En referencia a las características de los planos y considerando que las coordenadas de los tres puntos que pertenecen al plano son: P₁ = ( x₁ , y₁ , z₁ ); P₂ = ( x₂ , y₂ , z₂ ) y P₃ = ( x₃ , y₃ , z₃ ), entonces las coordenadas del vector sobre el plano son:

v = ( x₂ - x₁ , y₂ - y₁ , z₂ - z₁ )

Y las coordenadas de un vector normal al plano son:

n = $[(u_{y}*v_{z}-u_{z}*v_{y}),(u_{z}*v_{x}-u_{x}*v_{z}),(u_{x}*v_{y}-u_{y}*v_{x})]$

¿Cómo se obtiene un vector sobre el plano conocidas las coordenadas de dos puntos que pertenecen al plano?

Para obtener un vector sobre el plano conocidas las coordenadas de dos puntos que pertenecen al plano, hacemos lo siguiente:

P₁ = ( x₁ , y₁ , z₁ )

P₂ = ( x₂ , y₂ , z₂ )

El vector v = P₂ - P₁, por lo que:

v = ( x₂ , y₂ , z₂ ) - ( x₁ , y₁ , z₁ )

v = ( x₂ - x₁ , y₂ - y₁ , z₂ - z₁ )

¿Cómo se obtiene un vector normal al plano conocidas las coordenadas de dos puntos que pertenecen al plano?

Para obtener un vector normal al plano conocidas las coordenadas de dos puntos que pertenecen al plano, hacemos lo siguiente:

v = ( x₂ - x₁ , y₂ - y₁ , z₂ - z₁ )

v = $(v_{x}, v_{y}, v_{z})$

u = P₃ - P₁

u =  ( x₃ , y₃ , z₃ ) - ( x₁ , y₁ , z₁ )

u = ( x₃ - x₁ , y₃ - y₁ , z₃ - z₁ )

u = $(u_{x}, u_{y}, u_{z})$

n = u x v

n = $\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\u_{x} &u_{y} &u_{z} \\v_{x} &v_{y} &v_{z} \end{array}\right]$

n = $(u_{y}*v_{z}-u_{z}*v_{y})*i+(u_{x}*v_{z}-u_{z}*v_{x})*(-j)+(u_{x}*v_{y}-u_{y}*v_{x})*z$

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