Si se sabe que la masa de la Luna es de 7,36x1026 kg y que la distancia media de la
tierra a la Luna es de 384400 km, determina la fuerza de interacción existente entre
ellas.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Supongamos un sistema aislado de dos partículas interactuantes. Sobre la partícula de masa m1 actúa la fuerza F12, y sobre la partícula de masa m2 actúa al fuerza F21. Ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario.
Las ecuaciones del movimiento de cada partícula son
m1a1=F12
m2a2=F21
Como vemos m1·a1+m2a2=0. La aceleración del centro de masa es cero. El centro de masas de un sistema aislado se mueve con velocidad constante, vc=cte
El problema de dos cuerpos se pueden reducir a un problema de un solo cuerpo, para ello, calculamos el valor de la aceleración relativa a1- a2
Se denomina masa reducida del sistema de dos partículas a
Podemos escribir la siguiente ecuación del movimiento
El movimiento relativo de dos partículas sometidas únicamente a su interacción mutua es equivalente al movimiento, respecto de un observador inercial, de una partícula de masa igual a la reducida y bajo una fuerza igual a la de interacción.
En el caso de que la interacción entre los dos cuerpos sea descrita por la ley de la Gravitación Universal
Siendo r el vector posición de la partícula 1 respecto de la 2, r=r1-r2. Para resolver este problema de un solo cuerpo, necesitamos únicamente hallar el vector r en función del tiempo.
La dispersión en el Sistema de Referencia del Centro de Masa y en el Sistema de Referencia del Laboratorio, será uno de los ejemplos más importantes en el estudio de un sistema aislado formado por dos partículas que interaccionan eléctricamente
Sistema formado por dos estrellas en órbita circular.
Supongamos un sistema aislado formado por dos estrellas en órbita circular alrededor de su centro de masa. La posición del centro de masas se calculará de acuerdo con la siguiente relación
m1r1=m2r2
r=r1+r2
La posición del centro de masas está más cerca de la masa mayor.
El movimiento de las dos estrellas es equivalente al movimiento de una partícula de masa reducida m , bajo la acción de la fuerza F que describe la interacción mutua, la fuerza de atracción entre dos masas separadas una distancia r=r1+r2
cm2.gif (2032 bytes)
Si dicha partícula describe un movimiento circular de radio r, su aceleración es w2·r. La segunda ley de Newton se escribe.
La cantidad w2·r3 es constante, lo que nos indica que el cuadrado del periodo P=2p /w es proporcional al cubo del radio r (tercera ley de Kepler para órbitas circulares)
Una vez determinado el movimiento relativo, es decir, el radio r que describe la partícula de masa reducida m, el movimiento de cada una de las estrellas es el siguiente:
La estrella de masa m1 describe un movimiento circular de radio r1=m2·r/(m1+m2), alrededor del c.m de periodo P.
La estrella de masa m2 describe un movimiento circular de radio r2=m1·r/(m1+m2), alrededor del c.m y del mismo periodo.
Cuando la masa de una de las partículas es muy grande comparada con la de la otra, el centro de masas coincide aproximadamente con el centro de la primera partícula y podemos suponer que la segunda se mueve alrededor de un centro fijo de fuerzas. Por ejemplo, un satélite artificial que describe una órbita alrededor de la Tierra.
Ejemplo:
Calcular la masa de la Luna conocidos los datos siguientes:
Constante G=6.67·10-11 Nm2/kg2
Distancia Tierra- Luna r=3.84·108 m
Masa de la Tierra m1=5.98·1024 kg
Periodo P=2.36·106 s (27.3 días)
De la fórmula del periodo P, se despeja la masa de la Luna m2=3.73·1022 kg
El valor correcto es 7.34·1022 kg. Nuestro cálculo se basa en un modelo simplificado, que no tiene en cuenta el efecto del Sol sobre el periodo de la Luna, las perturbaciones de otros planetas, y la no esfericidad de la Tierra. La órbita de la Luna no es circular aunque el resultado (tercera ley de Kepler) es válido también para órbitas elípticas.
Hemos mostrado que, en un sistema formado por dos cuerpos que interaccionan de acuerdo con la ley de la Gravitación Universal, conocido el periodo P y la separación r entre ambos (por ejemplo, un sistema binario de estrellas) se puede calcular a partir de la tercera ley de Kepler, la masa combinada m1+m2 de los dos cuerpos.
Explicación: