Si se sabe que: AD + BC = 48 y AB+CD= 38, Calcule PQ. a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
a) 5
Explicación paso a paso:
Tenemos dos cuadriláteros circunscritos a dos circunferencias. Podemos aplicar el teorema de Pitot: "en todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia la suma de las longitudes de los lados opuestos son iguales"
Trabajar con la notación de segmentos es algo dispendioso. Para facilitar las operaciones vamos a denominar cada segmento así:
AB=a ; PQ=b ; BP=c ; AQ=d ; PC=e ; QD=f ; CD=g
Aplicando el Teorema de Pitot, podemos establecer las siguientes igualdades:
a+b=c+d (1) y e+f=b+g (2)
También, el ejercicio nos da estos datos:
a+g=38 (3) y d+f+c+e=48. (4) Nos piden calcular "b" (que es PQ)
Despejamos b en 1: b=c+d-a
Despejamos b en 2: b=e+f-g
Igualamos las dos expresiones que equivalen a "b"
c+d-a=e+f-g
Según (3): a+g=38, entonces a=38-g
Reemplazamos: c+d-(38-g)=e+f-g; operamos
c+d-38+g=e+f-g; pasamos -g a sumar: c+d-38+2g=e+f
Pero en (2) tenemos que e+f=b+g ; reemplazamos: c+d-38+2g=b+g
g pasa a restar, y tenemos: c+d-38+g=b (5)
Pero de (4) podemos despejar: c+d=48-f-e
Reemplazamos en (5) el equivalente de c+d y pasamos g a restar:
48-f-e-38=b-g ; 10-f-e=b-g ; de donde: 10=b-g+f+e
Pero en (2) tenemos que e+f=b+g; por tanto, reemplazamos:
10=b-g+b+g ; 10=2b; b=10/2; b=5
Y habíamos dicho que b=PQ; por tanto, la respuesta es 5