si se sabe que α = 20° determine la tensión a) en el cable ac b) en la cuerda bc
Respuestas a la pregunta
El segundo paso es hacer la descomposición de fuerzas en los sentidos vertical (y) y horizontal (x).
El tercer paso es aplicar la ecuación de equilibrio (a = 0 => Fuerza neta en cada eje = 0).
Variables:
Tac: tensión en el cable AC,
Tac,x componente horizontal de la tensión en el cable AC
Tac,y: componente vertical de la tensión en el cable AC
Tbc: tensión en la cuerda BC
Tbc,x: componente horizontal de la tensión en el cable BC
Tbc,y: componente vertical de la tensión en el cable BC
Descomposición de las fuerzas:
cos(5°) = Tac,y / Tac => Tac,y = Tac * cos(5°)
sen(5°) = Tac,x / Tac => Tac,x = Tac * sen(5°)
cos(20°) = Tbc,x / Tbc => Tbc,x = Tbc * cos(20°)
sen(20°) = Tbc,y / Tbc => Tbc,y = Tbc * sen (20°)
masa de 1200 lb = 1200 lb * 1 kg / 2,2046 lb = 544,32 kg
Peso = m*g = 544,32 kg * 9,8 m/s^2 = 5334,34 N
Ecuaciones de equilibrio en el eje vertical (y):
Tac,y = Tbc,y + 5334,34
=> (1) Tac * cos (5°) = Tbc * sen (20°) + 5334,34
Ecuaciones de equilibrio en el eje horizontal (x):
=> (2) Tac * sen(5°) = Tbc * cos(20°)
Solucion del sistema de ecuaciones (1) y (2):
Tac = 5530,79N
Tbc = 512,98N
- La tensión en el cable AC es de 40050,622 lb * ft/s².
- La tensión en la cuerda BC es 3706,813 lb * ft/s².
Para calcular los valores de las tensiones en el sistema, se debe hacer un Diagrama de Cuerpo Libre, en el punto C (por conveniencia) y realizar la sumatoria de fuerzas en los ejes "x" y "y", los cuales se tomarán de la siguiente manera:
- Eje "x" en dirección horizontal y positivo hacia la derecha.
- Eje "y" en dirección vertical y positivo hacia arriba.
¿Qué es un Diagrama de Cuerpo Libre?
En Dinámica, se utilizan los diagramas de cuerpo libre, para representar gráficamente todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, partícula o incluso sobre un conjunto de dos o más cuerpos.
Para el caso mostrado en la imagen, se realizan las sumatorias de fuerzas en los ejes "x" y "y" de la siguiente manera:
La tensión en el cable AC se llamará T₁, y la tensión en la cuerda BC se llamará T₂.
Además, se considerará al sistema como estático, es decir, que no está en movimiento (que está en equilibrio).
- Eje "x": - T₁ * Sen(5°) + T₂ * Cos(20°) = 0
- Eje "y": T₁ * Cos(5°) - T₂ * Sen(20°) - m * g = 0
"m" es la masa que está colgando y su valor es de 1200 libras, y "g" es la aceleración de la gravedad y su valor es de 32,174 ft/s².
Se debe resolver el sistema de ecuaciones que se forma para hallar la solución del problema.
De la Ec. 1 se despeja el valor de T₂ y se sustituye en la Ec. 2 para hallar el valor de T₁.
- T₁ * Sen(5°) + T₂ * Cos(20°) = 0
T₂ * Cos(20°) = T₁ * Sen(5°)
T₂ = T₁ * [(Sen(5°) / Cos(20°)]
Luego:
T₁ * Cos(5°) - T₂ * Sen(20°) - m * g = 0
T₁ * Cos(5°) - T₁ * [(Sen(5°) / Cos(20°)] * Sen(20°) - m * g = 0
T₁ * Cos(5°) - T₁ * [(Sen(5°) / Cos(20°)] * Sen(20°) = m * g
T₁ * [ Cos(5°) - [(Sen(5°) / Cos(20°)] * Sen(20°) ] = m * g
T₁ * [0,996 - (0,087/0,940) * 0,342 ] = 1200 lb * 32,174 ft/s²
T₁ * (0,996 - 0,032) = 38608,8 lb * ft/s²
T₁ * (0,964) = 38608,8 lb * ft/s²
T₁ = (38608,8 lb * ft/s²) / (0,964)
T₁ = 40050,622 lb * ft/s²
Luego, el valor de T₁ se sustituye en la Ec. 1 y se despeja el valor de T₂.
- T₁ * Sen(5°) + T₂ * Cos(20°) = 0
- (40050,622 lb * ft/s² * Sen(5°) + T₂ * Cos(20°) = 0
- (40050,622 lb * ft/s²) * Sen(5°) + T₂ * 0,940 = 0
T₂ * 0,940 = (40050,622 lb * ft/s²) * Sen(5°)
T₂ * 0,940 = (40050,622 lb * ft/s²) * 0,087
T₂ * 0,940 = (40050,622 lb * ft/s²) * 0,087
T₂ * 0,940 = 3484,404 lb * ft/s²
T₂ = (3484,404 lb * ft/s²) / 0,940
T₂ = 3706,813 lb * ft/s²
Por lo tanto, los valores de las tensiones son T₁ = 40050,622 lb * ft/s² (en el cable AC) y T₂ = 3706,813 lb * ft/s² (en la cuerda BC).
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