Question

si se cumple que : x+y=$\sqrt{5xy}$ , Calcular el valor de E=$(\frac{x}{y}+1)^{3}$+ $(\frac{y}{x}+1)^{3}$

Answer 1

El resultado de la operación es  5√5(√5 ± 1)³(1/8 + 1/(2 ± √5))³

Para poder resolver este ejercicio, primero debemos obtener un valor para x/y, este se obtiene de realizar las siguientes operaciones

$x+ y = \sqrt{5xy}\\\\(x+y)^2 = (sqrt{5xy})^2 = 5xy\\\\x^2 + 2xy + y^2 = 5xy\\\\x^2 - 3xy + y^2 = 0$

Si consideramos a x dependiente de y, podemos utilizar las fórmula resolvente de segundo grado para obtener una expresión explícita de x respecto a y, es decir

$x^2 - 3xy + y^2 = 0 \implies x = \frac{3y \pm \sqrt{(-3y)^2 - 4y^2}}{2} = \frac{3y \pm \sqrt{9y^2 - 4y^2}}{2}= \frac{3y \pm \sqrt{5y^2}}{2}\\\\x = \frac{3y \pm \sqrt{5}y}{2} = \frac{3 \pm\sqrt{5}}{2}y\\\\\frac{x}{y} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}; \frac{y}{x} = \frac{2}{3 \pm \sqrt{5}}$

Teniendo esto, podemos obtener los valores de E, que son

$\frac{x}{y} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}; \frac{y}{x} = \frac{2}{3 \pm \sqrt{5}}\\\\(\frac{x}{y} + 1)^3 + (\frac{y}{x}+ 1)^3 = (  \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} + 1 )^3 + (  \frac{2}{3 \pm \sqrt{5}} + 1 )^3 = (\frac{5 \pm \sqrt{5}}{2})^3 + (\frac{5 \pm \sqrt{5}}{2 \pm \sqrt{5}})^3 = (5 \pm \sqrt{5})^3((\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{3 \pm \sqrt{5}})^3) = 5^{3/2}(\sqrt{5} \pm 1)^3(\frac{1}{8} + \frac{1}{(2 \pm \sqrt{5})^3})$

Que es la solución a nuestro problema