Question

si se cumple que: x+y=6 ,xy=7. calcular el valor de x^3+y^3

Answer 1

Armamos un sistema de ecuaciones

1)X+Y=6     

2) XY = 7

Despejando  X en el 1)

$X+Y=6 \\ \\ X=6-Y$

Sustituyendo el valor de X en la 2)

$XY=7 \\ \\ (6-Y)Y=7 \\ \\ 6Y-Y^2=7 \\ \\ Y^2-6Y+7=0$

Aplicando formula ecuación cuadrática:

a = 1
b = -6
c = 7

$X= \dfrac{-b\ñ \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \\ \\ X=\dfrac{-(-6)\ñ \sqrt{(-6)^2-4(1)(7)} }{2(1)} \\ \\ X=\dfrac{6\ñ\sqrt{36-28} }{2} \\ \\ X=\dfrac{6\ñ \sqrt{8} }{2} \\ \\ X_1=\dfrac{6+ \sqrt{2\cdot 2^2} }{2}= \dfrac{6+2 \sqrt{2} }{2} =3+ \sqrt{2} \\ \\ X_2=\dfrac{6- \sqrt{2\cdot 2^2} }{2}= \dfrac{6-2 \sqrt{2} }{2} =3- \sqrt{2}$

Tenemos el valor de Y (tomando el positivo), cualquiera de los dos funciona, lo reemplazamos en el de X

$X=6-Y \\ \\ X=6-(3+ \sqrt{2}) \\ \\ X=6-3- \sqrt{2} \\ \\ X=3- \sqrt{2}$

X = 3 -√2
Y = 3+√2

Ahora aplicamos para : X³ + Y³       (a+b)³=a³+3a²b+2ab²+b³

$Y=(3+ \sqrt{2})^3 \\ \\Y= 3^3+3(3)^2( \sqrt{2}) +3(3)(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^3 \\ \\ Y=27+27\sqrt{2}+18+( \sqrt{2} )^3 \\ \\ Y=45+27\sqrt{2}+(\sqrt{2})^3$

$X=(3-\sqrt{2})^3 \\ \\ X=3^3-3(3)^2(\sqrt{2})+3(3)(\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^3 \\ \\ X=27-27\sqrt{2}+18-(\sqrt{2})^3 \\ \\ X=45-27\sqrt{2}-(\sqrt{2})^3$

Teniendo los valores sumamos:

X + Y

$45-27\sqrt{2}-(\sqrt{2})^3+45+27\sqrt{2}+(\sqrt{2})^3 \\ \\ 45+45-27\sqrt{2}+27\sqrt{2}-(\sqrt{2})^3+(\sqrt{2})^3 \\ \\ =90+0+0 \\ \\ =\boxed{\bf 90}\to Solucion$

Saludos desde Venezuela 

Answer 2

Respuesta:

90

espero te ayude sale 90 la resolución es muy larga pero ya tienes la repuesta