Question

Si se cumple que:
$MCM=\bigg(\overline{abc}\ ;\overline{(a+1)(b+4)(c+2)}\bigg)=22344$
Calcular a+b+c

Espero me puedan ayudar, gracias de antemano.

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Mínimo Común Múltiplo

$\textbf{Problema :}$

Si se cumple que:

$\textrm{MCM} (\overline{abc}\ ;\ \overline{(a+1)(b+4)(c+2)}) = 22344$

Calcule $a+b+c$.

RESOLUCIÓN

Empecemos con una propiedad acerca del mínimo común múltiplo de dos números.

$\textbf{Propiedad :}$

$\textrm{El MCM de dos n\'umeros A y B, siendo \textrm{MCM(A; B)} = m} \\ \textrm{se cumplir\'a que m = Ap y m = Bq , siendo p y q primos entre s\'i.}$

Observación

$\textrm{p y q son n\'umeros enteros positivos}$

$\{\textrm{p}\ ;\ \textrm{q}\} \subset \mathbb{Z}^{+}$

Esta propiedad nos ayudará más adelante, debemos ahora fijar nuestra atención en el numeral $\overline{(a+1)(b+4)(c+2)}$ el cual vamos a descomponer polinómicamente.

$\overline{(a+1)(b+4)(c+2)} = 100(a+1) +10(b+4) + (c+2)$

$\overline{(a+1)(b+4)(c+2)} = 100a + 10b + c +100 +40 + 2$

Notemos que.

$\boxed{\overline{abc} = 100a+10b+c}$

Entonces el numeral $\overline{(a+1)(b+4)(c+2)}$ es equivalente a $\overline{abc} + 142$.

$\boxed{\overline{(a+1)(b+4)(c+2)} = \overline{abc} + 142}$

Con lo cual podemos escribir el $\textrm{MCM}$ de esta forma.

$\textrm{MCM} (\overline{abc}\ ;\ \overline{abc} + 142) = 22344$

Ahora apliquemos la propiedad para hallar el valor del numeral $\overline{abc}$.

$\textrm{MCM} (\overline{abc}\ ;\ \overline{abc} + 142) = 22344 \\ \\ \overline{abc} \times \textrm{p} = 22344 \\ \\ (\overline{abc}+142) \times \textrm{q} = 22344$

$\textrm{Donde p y q son primos entre s\'i.}$

A partir de este sistema de ecuaciones deducimos lo siguiente:

$\left( \dfrac{22344}{\textrm{p}} + 142 \right) \times \textrm{q} = 22344$

Realizando algunas operaciones llegamos a lo siguiente:

$142 \times \textrm{p} \times \textrm{q} = 22344 \times (\textrm{p} - \textrm{q})$

Operando la descomposición canónica de $22344$ y $142$ tenemos que:

$2 \times 71 \times \textrm{p} \times \textrm{q} = 2^{3} \times 3 \times 7^{2} \times 19 \times (\textrm{p} - \textrm{q})$

$71 \times \textrm{p} \times \textrm{q} = 2^{2} \times 3 \times 7^{2} \times 19 \times (\textrm{p} - \textrm{q})$

Debido a que estamos trabajando con enteros necesariamente debe existir el factor primo $71$ en la parte derecha de la igualdad, entonces $\textrm{p} - \textrm{q}$ debe ser un múltiplo $71.$

Momentáneamente diremos que $\textrm{p} - \textrm{q}$ es igual a $71$.

Con el sistema de ecuaciones que formulamos anteriormente obtenemos la siguiente igualdad.

$(\overline{abc}+142) \times \textrm{q} = \overline{abc} \times \textrm{p}$

$\overline{abc} \times (\textrm{p} - \textrm{q}) = 142 \times \textrm{q}$

$\overline{abc} \times 71 = 142 \times \textrm{q}$

$\overline{abc} = 2 \times \textrm{q}$

A su vez debe cumplirse.

$(\overline{abc} +142) \times \textrm{q} = 22344$

$(2 \textrm{q} +142) \times \textrm{q} = 22344$

Resolver esta última ecuación es sencilla, siendo la solución $\textrm{q} = 76$, debo aclarar que no admitimos la solución negativa de la ecuación, ya que como hemos mencionado anteriormente, $\textrm{q}$ es positivo.

$\overline{abc} = 2 \times \textrm{q} = 2 \times 76 = 152$

El valor de $\overline{abc} = 152$ verifica el resultado de $\textrm{MCM} (152\ ;\ 294) = 22344$

Nos piden el valor de $a+b+c$.

$a+b+c = 1+5+2 = 8$

RESPUESTA

$\boxed{8}$

Answer 2

Respuesta:

la respuesta es 8