Question

Si se cumple que cot(6x) + tanx = secx donde 6x es agudo, halle sen 11(x).

Answer 1

Aplicando identidades trigonométricas, la función trigonométrica requerida es sen(11x)=1.

¿Cómo hallar el seno del ángulo igual a 11x teniendo la ecuación trigonométrica?

Podemos comenzar poniendo toda la ecuación en función de las relaciones trigonométricas seno y coseno, haciendo eso tenemos:

$\frac{cos(6x)}{sen(6x)}+\frac{sen(x)}{cos(x)}=\frac{1}{cos(x)}$

Ahora podemos pasar la tangente para el segundo miembro y restar las dos fracciones:

$\frac{cos(6x)}{sen(6x)}=\frac{1}{cos(x)}-\frac{sen(x)}{cos(x)}\\\\\frac{cos(6x)}{sen(6x)}=\frac{1-sen(x)}{cos(x)}$

Podemos continuar operando sobre la ecuación obtenida para que quede una identidad trigonométrica conocida:

$cos(6x).cos(x)=sen(6x)(1-sen(x))\\\\cos(6x).cos(x)=sen(6x)-sen(6x).sen(x)\\\\cos(6x).cos(x)+sen(6x).sen(x)=sen(6x)$

En el primer miembro quedó la expresión del coseno de la diferencia de ángulos entre los ángulos 6x y x, por lo que tenemos lo siguiente:

$cos(6x-x)=sen(6x)\\cos(5x)=sen(6x)$

Si el ángulo 6x es agudo, los ángulos 5x y 6x son complementarios, porque el coseno de uno es igual al seno del otro, es decir, la suma entre ellos es igual a 90 grados:

5x+6x=90°

11x=90°

Ahora, como el ángulo 11x es el ángulo recto, finalmente tenemos sen(11x)=1.

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