Question

Si P(x) es el polinomio monico de menor grado con coeficientes racionales tal que es divisible por x-2 y una de sus raices es 1+✓3 , halle el producto de su termino independiente por la suma de sus coeficientes

Answer 1

El producto entre el término independiente de p(x) y la suma de sus coeficientes es 12.

Explicación paso a paso:

El polinomio mónico es aquel cuyo coeficiente de mayor orden es 1, y si es divisible por (x-2) significa que x=2 es una de sus raíces.

El polinomio tiene también una raíz irracional que es $x=1+\sqrt{3}$ la cual podría resultar ser de raíz de una ecuación cuadrática por lo que se necesita otra raíz de valor $x=1-\sqrt{3}$ para tener coeficientes racionales. El polinomio podría ser:

$p(x)=(x-2)(x-1-\sqrt{3})(x-1+\sqrt{3})$

Que desarrollando queda:

$p(x)=(x-2)(x-1-\sqrt{3})(x-1+\sqrt{3})\\\\p(x)=(x-2)(x^2-x+x\sqrt{3}-x+1-\sqrt{3}-\sqrt{3}x+\sqrt{3}-3)\\\\p(x)=(x-2)(x^2-2x-2)=x^3-2x^2-2x-2x^2+4x+4\\\\p(x)=x^3-4x^2+2x+4$

Con lo que el producto entre su término independiente y la suma de sus coeficientes es:

$4(1-4+2+4)=4.3=12$