Question

si P es el punto (1,a) y su distancia al punto (6,7) es 13 determinar el valor de a

Answer 1

Solo debe utilizar la fórmula para calcular la distância entre dos puntos:
$d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2 \\ \\ d^2=(6-1)^2+(7-a)^2=169 \\ \\ 5^2+49-14a+a^2=169 \\ \\ 25+49-14a+a^2-169=0 \\ \\ \boxed{a^2-14a- 95=0 }$

Las raices desa ecuacion son -5 y 19 que son los dos valores possibles para a

Answer 2

La distancia entre dos puntos se encuentra aplicando esta fórmula
Distancia² = (y1 -y0)² + (x1 - x0)²            entonces
   13 ²       = (7 - a)² + (6 -1)²
   169       =  49 - 14a + a² + (5)²
   169       = 49 - 14a + a² + 25
   169       = 74 - 14a + a²           igualo a cero
     0   = 74 -14a+ a²  - 169
     0  =    a² - 14a - 95
 Aplicamos Bascara
        –b ± √ b² – 4ac
x = ▬▬▬▬▬▬▬               a = 1    b= - 14      c = - 95
              2a

      + 14 ± √196 – 4(1)(-95)
x = ▬▬▬▬▬▬▬
              2(1)

    + 14 ± √196 +380
x = ▬▬▬▬▬▬▬
              2

   + 14 ± √576
x = ▬▬▬▬▬▬▬
              2
       + 14 ± 24
x = ▬▬▬▬▬▬▬
              2

nos da dos resultados
x1= (14 + 24)/2 → x1= 19
x2 = (14 - 24) /2 → x2 = - 5

Entonces
Verifiquemos que valor puede tener a
 Distancia² = (y1 -y0)² + (x1 - x0)²           
   13 ²       = (7 - 19)² + (6 -1)²
   13²        =  (- 12)² + (5)²
   169       =  144 + 25
   169      =  169
Entonces el valor de a = 19 es válido
Probemos con a = - 5
Distancia² = (y1 -y0)² + (x1 - x0)²            entonces
   13 ²       = (7 - (-5))² + (6 -1)²
   13²       = 12²  + 5²
 169        =  169
Entonces el valor de a = - 5 es válido.
los puntos que podés formar son
(1, 19) y  (6,7) la distancia entre estos es de 13
(1, - 5 ) y  (6,7) la distancia entre estos es de 13

espero que te sirva, salu2!!!!