Question

Si n ϵ Z+ demostrar que $4^{n} -1$ es divisible por 3.

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

Nos piden demostrar si:

$4^{n} -1$       es divisible por 3     si n ∈ Z+

Lo haremos por inducción matemática, para eso debemos demostrar estos pasos:

• Caso base:  n= 1

• Hipótesis inductiva (HI): n= k    

• Si La HI es verdadero, con eso deberíamos demostrar que n= k + 1 (tesis inductiva)

Caso base:   n = 1

$4^{1} -1= 3$  y   3║3

Podemos probar incluso para n= 2

$4^{2} -1= 15$    y    3║15

Hipótesis inductiva:  Supongamos que se cumple para un valor mas alejado, es decir para un cierto "k"

$4^{k} -1$ es divisible por 3

Tesis inductiva: Debemos demostrar si se cumplirá para n= k + 1

$4^{k+1} -1$

Por ley de los exponentes:

$a^{n+m} = a^{n} *a^{m}$

$4^{k} *4-1$

Al 4 vamos a expresarlo como  (3+1)

$4^{k} *(3+1)-1$

Aplicando propiedad distributiva

$4^{k} *3 + 4^{k} *1 -1$

Podemos al - 1 expresarlo como:    -1× 4⁰,  es exactamente lo mismo:

$4^{k} *3 + 4^{k} *1 - 1*4^{0}$

Vemos que se repite 1, lo podemos sacar  como factor común

$4^{k} *3 + 1(4^{k} -4^{0} )$

$3*(4^{k} )+ 1(4^{k} -1)$

 

Tenemos en el 2do termino nuestra hipótesis inductiva, que como dijimos es divisible por 3

En el primer termino tenemos un numero cualquiera ($4^{k}$)  multiplicado por 3, esto siempre sera divisible por 3

Ej:   7*3= 21 y 21 es divisible por 3

Por lo tanto, queda demostrado

Saludoss