Question

si n{P(A)}=128 n{P(B)}=32 n{P(A∩ B)}=8, Determine n{P(AUB)}

Answer 1

Respuesta:

• Establecer correctamente la noción de conjunto y su notación.

• Utilizar adecuadamente los símbolos de pertenencia e inclusión y representar los conjuntos adecuadamente.

• Reconocer los conjuntos especiales y determinar su correspondiente cardinal.

• Resolver problemas utilizando los Diagramas de Veen-Euler y Lewis Carroll.

Noción de Conjunto

Concepto no definido del cual se tiene una idea subjetiva y se le asocian ciertos sinónimos tales como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados “integrantes” u elementos susceptibles de ser comparados.

Ejemplos:

• Los días de la semana

• Los países del continente americano.

• Los jugadores de un equipo de fútbol.

Notación

Generalmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus integrantes u elementos mediante variables o letras minúsculas separadas por comas y encerrados con llaves.

Ejemplo: A = los días de la semana

B = a, e, i, o, u

Relación de Pertenencia ()

Se establece esta relación sólo de “integrante” a conjunto y expresa si el integrante indicado forma parte o no del conjunto considerado.

“....pertenece a .....” : 

“... no pertenece a ..”: 

Esto quiere decir que dado un “integrante u elemento” y un conjunto

Integrante  conjunto

u elemento 

Ejemplo: C = 1,2, 1,2, 5, 16

• 2  C

• 8  C

• 1,2  C

• 5  C

incorrecto

Determinación de un Conjunto

Consiste en precisar correctamente que “elementos” forman parte del conjunto. Puede hacerse de 2 formas:

a) Por Extensión o forma tabular.

Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los integrantes

Ejemplo: A = a, e, i, o, u

C = 2,4,6,8

Es evidente que el orden en el cual son listados los “elementos” del conjunto no afecta el hecho de que pertenece a él.

De este modo en el conjunto

A = a,e,i,o,u = a,o,u,i,e

No todos los conjuntos pueden ser expresados por extensión, entonces se recurre a otra forma de determinación.

b) Por Comprensión o forma constructiva

Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.

Esquema /

(se lee “tal que”)

A = ..........................

Regla de Restricción

Correspondencia y/o característica

o forma general (propiedad común)

del elemento

B = n/n es una vocal

C = n²-1 / n  ZZ ,1  n  7

CONJUNTOS NUMERICOS

1. Conjunto de los números naturales

IN = 1,2,3,4.... EJM 17  IN

IN O = IN* = 0,1,2,3,....

Observación

Cero (0) es natural

2. Conjunto de los Números Enteros

ZZ = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

 ZZ , - 24  ZZ

3. Conjunto de los Números Racionales

Q = a/b / a  ZZ  b ZZ  b  0

3  Q porque : 3 =

0,5  Q porque 0,5 =

0,333...  Q porque 0,333... =

 = 3,141592...  Q porque  

Aplicación I

Dado el conjunto

B = 1, , , 2 1, 1,2,3

Indicar que proposiciones son verdaderas o falsas

*   B * 1  B

* 1  B * 3  B

* 1,2  B *   B

Aplicación II

Determinar por extensión y comprensión los siguientes conjuntos

P = 2, 6, 12, 20,..., 10100

Q = 3x+1/x ZZ  - 3 < x < 3 Cardinal de un Conjunto Se llama Número Cardinal de un conjunto A a la clase de los conjuntos coordinables con A (es decir el número cardinal es una clase de equivalencia). Vulgarmente se acostumbra a señalar que el número cardinal, es el número de elementos del conjunto A y se denota como n (A) ó card (A) Ejemplo: A = 3, 6, 9, 12, 15 entonces n (A) = 5 P = 2,2,3,3,3,5,7 entonces n (P) = 4 Número Ordinal Teniendo en cuenta una disposición de los elementos dentro del conjunto del cual forman parte, cada uno determina su número ordinal como el lugar que ocupa en el orden establecido. Notación: Ord (x) : número ordinal de x S = 7, a, , 13  ord (a) = 2, ord () = 3 Cuantificadores a) Universal: Se denota por “” y se lee “para todo” o “para cualquier” Si P(x) es una función proposicional, , “ x  A; P(x)” es una proposición que será verdadera cuando para todos los valores de x  a se cumpla P(x) Ejemplo: Si A = 2,4,6,8 P(x) = x es un número par P(y) = 3y – 2 > 4

Luego  x  A: x es un  par (V)

 y  A: 3y – 2>4 (F)

b. Existencial. Se denota por “” y se lee “existe por lo menos un” Si P(x) es una función proposicional, “ x  A/P(x)” es una proposición que será verdadera si existe por lo menos un elemento de A, que cumple P (x)

Explicación paso a paso:

n[P(A)]=128 = 2^n(A)=2^7 entonces n(A)=7

n[P(B)]=256 = Si  2^n(B)=2^8 entonces n(B)=8

n[P(A∩B)]=32 =  2^n(A∩B)=2^5 entonces n(A∩B)=5

Ademas n(AUB)=10.....Por lo tanto n[P(AUB)]=2^10=1024