⦁ Si n es un entero y está entre y , ¿cuál es el valor de n?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Los números enteros se definen como el conjunto de los números Z={...,-2,-1,0,1,2,3,...}. Dentro de este conjunto está el subconjunto de los números naturales, N={1,2,3,4,...}. Es decir, el subconjunto de los números enteros positivos (mayores que 0).
Pueden definirse en Z dos operaciones internas binarias + , . : Z x Z ⇒ Z, a las que llamamos suma y producto, respectivamente. Estas operaciones cumplen las siguientes propiedades:
Cerradas: a+b ∈ Z y a.b ∈ Z, ∀a,b ∈Z
Conmutativas: a+b = b+a , a.b = b.a , ∀ a,b ∈ Z
Asociativas: a+(b+c) = (a+b)+c , a.(b.c) = (a.b).c , ∀ a,b ∈ Z
Existencia de elementos neutros: a+0 = a , a.1 = a , ∀ a ∈ Z
Existencia de elemento opuesto para la suma: ∀a ∈Z existe -a ∈ Z tal que a + (-a) = 0
Cancelativa: Si a es distinto de 0, y a.b = a.c entonces b = c
Distributiva: a.(b+c) = a.b + a.c ∀ a,b,c ∈ Z
La ordenación de los números enteros
En Z se puede definir una relación de orden total, con el orden usual <. Así, para cualesquiera dos elementos distintos de Z, a<b o bien b<a. Es decir, Z es un conjunto totalmente ordenado.
Esta relación de orden total es compatible con la suma y el producto:
a < b ⇒ a+c < b+c, para todo entero c.
a < b ⇒ a.c < b.c, para todo entero c mayor que 0.
Dado un (A,<) conjunto ordenado y dado un subconjunto no vacío S de A, se dice que:
c ∈ A es cota inferior de S si c < x, para todo x ∈ S
m ∈ S es mínimo de S si m < x, para todo x ∈ S
Se dice por tanto que S está acotado inferiormente si existe un elemento c ∈ A que es cota inferior de S.
Axioma de buena ordenación en (Z , <)
Si X es un subconjunto no vacío de Z y está acotado inferiormente, entonces X tiene mínimo (habrá pues siempre un primer elemento del conjunto).
Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que un subconjunto de los números naturales también tendrá mínimo, evidentemente.
El principio de inducción matemática
Formulación del principio de inducción:
Sea S ⊂ N tal que
1 ∈ S
si k ∈ S ⇒ k+1 ∈ S
Entonces S = N.
Si la pertenencia al conjunto S viene determinada por una propiedad P que queramos probar, podríamos utilizar el principio de inducción para demostrar que esa propiedad se satisface para todo entero positivo.
Otra formulación del principio de inducción:
Dado un enunciado P dependiente de un parámetro n ∈ Z, supongamos que se demuestra que:
P(n0) es cierto para un cierto n0 ∈ Z
Siempre que P(k) es cierto para cualquier entero k > n0, entonces es cierto para el siguiente entero P(k+1).
Entonces podemos afirmar que P(n) es cierto ∀n ∈ Z con n > n0