si N: 15 × 30^n tiene 294 divisores ¿Cual es él valor de n)
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Lo resolví!
Explicación paso a paso:
Estoy en segundo de secundaria y me mandaron este problema, y porfin después de una hora lo resolví, así que voy a compartir mis conocimientos ( no se necesita logaritmos ni nada de eso )
N= 15 . 30^n entonces descomponemos 15 y 30 y sale
N= 3 . 5 .(2.3.5)^n y aplicamos un poco de álgebra (2.3.5)^n = 2^n . 3^n . 5^n
N= 3 . 5 . 2^n . 3^n . 5^n
N= 2^n . 3^n+1 . 5^n+1
Calculamos el número de divisores:
Numero de divisores = (n + 1) (n+ 1 + 1) (n + 1 + 1)
Entonces 294 es igual a:
294 = (n + 1) (n + 2)^2
entonces ahora descomponemos 294 y sale que 294 = 2.3.7^2 y tenemos que hacer que (n + 1) (n + 2)^2 coincida con 2.3.7^2, y como lo hacemos? facil, 2.3= 6 entonces queda
6. 7^2 e igualando a (n + 1) (n + 2)^2 sale la respuesta
(n + 1) (n + 2)^2 = 6. 7^2
n = 5
El problema no tiene solución pues el valor de "n" no es natural
Tenemos que si N = 15 × 30ⁿ entonces si descomponemos en factores primos:
N = (3×5)×(2×3×5)ⁿ
= 3ⁿ⁺¹×5ⁿ⁺¹×2
Entonces el número de divisores es:
(n + 1 + 1)(n + 1 + 1)(1 + 1) = 294
Entonces despejamos el valor de "n":
(n + 2)(n + 2) = 294/2
(n + 2)² = 147
n² + 4n + 4 = 147
n² + 4n + 4 - 147 = 0
n² + 4n - 143 = 0
Vemos que las soluciones no son enteras, por lo tanto, el problema no tiene solución
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