Si los planos: pi 1= 2x – 3y +z - 12 = 0 y p2= 8x 8x – 12y + 4z 12y + 4z - 64 = 0, son paralelos. Determine la distancia entre ellos.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Para hallar la ecuación de una recta en el espacio necesito:
• Dos puntos
• Un punto y su vector director
Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x0,y0,z0) y un vector
→
v = (a,b,c).
Si me dan dos puntos A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1) ⇒ Tomaremos uno de los mismos A(x0,y0,z0) y como
vector
→
v =
→
AB= (x1- x0, y1 – y0, z1 – z0)
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + k.(a,b,c) ∀ k ∈ R
Ecuaciones paramétricas:
= +
= +
= +
z z kc
y y kb
x x ka
0
0
0
∀ k ∈ R
Ecuación continua:
c
z z
b
y y
a
x x0 0 − 0 =
−
=
−
Ecuación implícita (como intersección de dos planos):
+ + + =
+ + + =
A x B y C z D 0
A x B y C z D 0
2 2 2 2
1 1 1 1
Ejemplo 1 : Halla las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1-3)
= − = − − − = −
−
Vector : PQ Q P ,1,2( )3 ,0,1( )1 ,1,1( )2
Punto : ,0,1(P )1
:r
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,0,-1) + λ.(1,1,-2) ∀λ ∈ R
Ecuaciones parámetricas: R
z 1 2
y
x 1
∀λ ∈
= − − λ
= λ
= + λ
Ecuación continua:
2
z 1
1
y
1
x 1
−
+
= =
−
Ecuación implícita:
− − = −
− = →
− + = +
− =
2x z 1
x y 1
2x 2 z 1
x 1 y
Ejemplo 2: Hallar dos puntos y un vector de las siguientes rectas:
a) (x,y,z) = (2,0,-1) + t.(1,2,3) Puntos:
= ⇒
= ⇒
t 1 P (3,2,2)
t 0 P (2,0,-1)
2
1
Vector: (1,2,3)
b)
= − λ
= −λ
= + λ
z 3 4
y
x 1
Puntos:
λ = ⇒
λ = ⇒
1 P (2,-1,-1)
0 P (1,0,3)
2
1
Vector (1,-1,-4)
c)
3
z 2
4
y 1
2
x 1 +
=
−
=
+
Puntos
= ⇒ )
2
1
x 0 P (0,3,-
P (-1,1,-2)
2
1
Vector (2,4,3)
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 2
d)
− + =
+ + =
2x y z3 4
x 2y z 3
− −
≈
− 0 5 1 2
1 2 1 3
2 1 3 4
1 2 1 3
− + = −
+ + =
≈
5y z 2
x 2y z 3
= α −
= α
= − α
→
= − α + − α
= α −
= α
z 5 2
y
x 5 7
x 3 2 2 5
z 5 2
y
−
−
−
→
Vector (: )5,1,7
P ( )3,1,2
P ,0,5( )2
Puntos:
2
1
Nota: Otra forma de hallar el vector ,7( ,1 )5
2 1 3
Explicación paso a paso: