Question

Si la longitud de la escalera es de 5 m, y el ángulo que forma entre la base de la escalera y el suelo es de 54. Determina la altura del poste , desde su base hasta donde está apoyada la escalera

Answer 1

La altura del poste es de aproximadamente 4.045 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Representamos la situación en un  triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC que equivale a la altura del poste desde su base hasta donde lo alcanza la escalera, el lado AC que representa la distancia desde el pie o base de la escalera hasta la base del poste y es a la vez el plano del suelo y el lado AB que es la longitud de la escalera -desde su base apoyada en el suelo hasta donde esta alcanza al poste en la parte superior de este. Y en donde la base de la escalera forma con la línea del suelo un ángulo de elevación de 54° -

Donde se pide hallar:

La altura del poste desde su base hasta donde está apoyada la escalera

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la longitud de la escalera y de su ángulo de elevación de 54°, que la base de la escalera forma con el suelo

• Longitud de la escalera = 5 metros

• Ángulo de elevación = 54°

• Debemos hallar la altura del poste

Hallando la altura del poste

Si el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

Como sabemos el valor de la hipotenusa (longitud de la escalera), asimismo conocemos su ángulo de elevación de 54° que su base forma con el suelo y debemos hallar la altura del poste desde su base hasta donde se apoya la escalera (cateto opuesto), relacionamos los datos que tenemos con el seno del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { sen(54)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(54) ^o = \frac{altura \ del \ poste}{ longitud\ de \ la \ escalera } }}$

$\boxed { \bold {altura \ del \ poste = longitud\ de \ la \ escalera\ .\ sen(54) ^o }}$

$\boxed { \bold {altura \ del \ poste = 5 \ metros\ .\ sen(54) ^o }}$

$\boxed { \bold {altura \ del \ poste = 5 \ metros\ .\ 0.8090169943749 }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ poste \approx 4.04508497 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { altura \ del \ poste \approx 4.045 \ metros }}$

La altura del poste es de aproximadamente 4.045 metros