Question

Si la ecuación x2 - 3x + 1=0 tiene raíces α y β, determine el valor de α2 - β2

Answer 1

Respuesta:

$3\sqrt{5}$

Explicación paso a paso:

La ecuacion es: $x^{2} -3x+1=0$ ,

esta ecuacion es de la forma: $ax^{2} +bx+c=0$, por el procedimiento normal para factorizar no se puede resolver, porque los valores no lo permiten asique para encontrar una solucion debes aplicar la formula general, esta te permite resolver cualquier trinomio que tenga esta forma.

Formula general: $x=\frac{-b (+/-) \sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}$ , entonces solo reemplaza los valores y resuelve, asi obtendras dos soluciones para x, o sea, los valores que te indican $\alpha ,\beta$.

$x=\frac{-b (+/-) \sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}\\x=\frac{-(-3) (+/-) \sqrt{(-3)^{2}-4(1)(1) } }{2(1)}\\x=\frac{+3 (+/-) \sqrt{9-4 } }{2}\\x=\frac{+3 (+/-) \sqrt{5 } }{2}$

llegados a este punto el mas menos(+/-) significa que debes escoger 1 para cada caso, o sea, una solucion sera al elegir el + y la otra solucion sera al elegir el -.

$x_{1} =\frac{+3 + \sqrt{5 } }{2}\\\\\alpha = \frac{+3 + \sqrt{5 } }{2}$esta seria una solucion,

$x_{2} =\frac{+3 - \sqrt{5 } }{2}\\\\\beta = \frac{+3 - \sqrt{5 } }{2}$esta es la otra solucion

las raices no es necesario encontrar su valor exacto, hacer eso solo complicaria mas las cosas innecesariamente.

Entonces nos dicen que determinemos, $\alpha ^{2} -\beta ^{2}$, entonces reemplazamos:

$=\alpha ^{2} -\beta ^{2}\\=(\frac{+3+\sqrt{5} }{2} ) ^{2} -(\frac{+3-\sqrt{5} }{2}) ^{2}\\=\frac{7+3\sqrt{5} }{2}- \frac{7-3\sqrt{5} }{2}\\=3\sqrt{5}$esto lo sacas con la calculadora cientifica, no lo hagas con el celular.

Entonces la respuesta es $3\sqrt{5}$