Sí la derivada de una función no existe en un punto de su gráfica, entonces ¿la recta tangente a esa gráfica en dicho punto tiene una orientación...?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Teorema de Bolzano. Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de distinto signo en los extremos (es decir, f(a)f(b) < 0) entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
Derivada. Se dice que una función f es derivable en a si existe, y es finito, el siguiente límite
Cuando f es derivable en a al resultado del límite anterior, denotado por f'(a) , se le llama derivada de f en el punto a. Si f es una función derivable en a entonces es continua en a. La función derivada de f está definida sobre el conjunto de puntos donde f es derivable y es aquella que asigna a cada punto su derivada. Si la función derivada es, a su vez, derivable en a se dice que f es dos veces derivable en a, y así sucesivamente pueden construirse derivadas de cualquier orden natural.
Recta tangente. Sea f una función derivable en un punto a. La derivada de f en a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente a la gráfica de f en el punto a es, por tanto, aquélla que pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada f'(a),
y − f(a) = f'(a) (x − a)
Teorema de Rolle. Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b) y tal que f(a) = f(b), entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0. Geométricamente esto significa que, bajo las condiciones anteriores, existe un punto en el interior del intervalo en el que la tangente a la gráfica de f es horizontal.
Teorema del valor medio. Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe, al menos un punto c ∈ (a, b) tal que Geométricamente, esto significa que, bajo las condiciones anteriores, existe un punto en el interior del intervalo en el que la tangente a la gráfica de f es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
Función de clase Cn. Se dice que f es de clase Cn en un intervalo I si es n-veces derivable en todo I y la función derivada n-ésima, f(n), es continua en todo I. Si la función f admite derivadas de todos los órdenes en todo el intervalo I entonces se dice que f es de clase C∞.