Question

Si la curva infinita y = e ^ −3x, x ≥ 0, gira alrededor del eje x, encuentre el área de la superficie resultante.

Answer 1

Hola..!

Si la curva infinita y = e ^ −3x, x ≥ 0, gira alrededor del eje x, encuentre el área de la superficie resultante.

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Solución:

Para una curva girada alrededor del eje x, el área de superficie es:

S = ∫ₐᵇ 2πy ds,

donde ds = √ (1 + (dy / dx) ²) dx.

y = e⁻³ˣ

dy / dx = -3e⁻³ˣ

ds = √ (1 + (-3e⁻³ˣ) ²) dx

S = ∫₀ °° 2πe⁻³ˣ √ (1 + (-3e⁻³ˣ) ²) dx

Si u = -3e⁻³ˣ, entonces du = 9e⁻³ˣ dx, o du / 9 = e⁻³ˣ dx.

Cuando x = 0, u = -3. Cuando x = ∞, u = 0.

S = ∫₋₃⁰ 2π √ (1 + u²) (du / 9)

S = 2π / 9 ∫₋₃⁰ √ (1 + u²) du

S = 2π / 9 [½ u √ (1 + u²) + ½ ln | u + √ (1 + u²) | ] | ₋₃⁰

S = 2π / 9 {[0] - [-³ / ₂√10 + ½ ln (-3 + √10)]}

S = 2π / 9 [³ / ₂√10 - ½ ln (-3 + √10)]

S ≈ 3.946

Conclusiones

S = 2π / 9 [³ / ₂√10 - ½ ln (-3 + √10)]

S ≈ 3.946

Saludos