Question

Si la base de un tetraedro es un triángulo de vértices R (1, 2,1), S (-4,2,-1) y T(-5,5,3); hallar la longitud de la altura del tetraedro trazada desde el vértice D(4,2,-3) a la base

Answer 1

Respuesta:

$D=\frac{42}{\sqrt{745} } \approx 1.538\ u$

Explicación paso a paso:

¡Hola! antes de poder hallar la altura, primero hay que hallar la ecuación del plano que pasa por los 3 puntos del tetraedro. Lo que se hace es sustituir las coordenadas (x,y,z) de cada punto, en la ecuación general del plano:

$Ax+By+Cz+D=0$

Sustituyendo:

$(1): A+2B+C+D=0\\(2): -4A+2B-C+D=0\\(3): -5A+5B+3C+D=0$

*Cada ecuación corresponde a los puntos dados R,S,T respectivamente.

Se generó un sistema de ecuaciones 3x4 (3 ecuaciones y 4 variables). Lo que se hace, es resolverlo dejando las variables A,B y C en función de D. Así:

$*4(1)+(2):\\4A+8B+4C+4D=0\\-4A+2B-C+D=0\\-----------\\(4): 10B+3C+5D=0$

$*5(1)+(3):\\5A+10B+5C+5D=0\\-5A+5B+3C+D=0\\-------------\\(5):15B+8C+6D=0$

$*3(4)-2(5):\\30B+9C+15D=0\\-30B-16C-12D=0\\---------------\\-7C+3D=0\\\\C=\frac{3}{7} D$

$Sustituyendo\ C=\frac{3}{7}D\ en\ (5):\\\\15B+8(\frac{3}{7}D)+6D=0\\\\15B=-\frac{66}{7}D \\\\B=-\frac{22}{35}D$

$Sustituyendo\ C=\frac{3}{7}D\ ,B=-\frac{22}{35}D\ en\ (1):\\\\A+2(-\frac{22}{35}D)+(\frac{3}{7}D)+D=0\\\\A=-\frac{6}{35}$

Las soluciones del sistema son:

$A=-\frac{6}{35}D\\\\B= -\frac{22}{35}D\\\\C=\frac{3}{7}D$

Sustituyendo en la ecuación general del plano:

$-\frac{6}{35}Dx-\frac{22}{35}Dy+\frac{3}{7}Dz+D=0$

Ahora dividimos toda la ecuación por D, y multiplicamos por 35 (que es el denominador común de las fracciones) para que sea más cómoda de usar:

$(-\frac{6}{35}Dx-\frac{22}{35}Dy+\frac{3}{7}Dz+D=0)(\frac{35}{D} )\\\\-6x-22y+15z+35=0$

Este última es la ecuación del plano que contiene a los puntos R,S y T (se puede comprobar sustituyendo sus coordenadas y que cumpla la igualdad). Ahora, para poder hallar altura, calculamos la distancia del vértice D al plano calculado anteriormente, por medio de la fórmula:

$D=\frac{|PQ\bullet n|}{||n||}$

Donde PQ es un vector que va desde el punto P(que es cualquier punto del plano), a Q(el punto que se desea calcular la distancia); y n es el vector normal obtenido de la ecuación del plano; ||n|| es la magnitud de n.

En este caso, P puede ser cualquiera de los puntos R,S o T (ya que los 3 pertenecen al plano). Por ejemplo, R(1,2,1); Q es el punto D(4,2,-3). Armando el vector quedaría:

$RD=<4-1,2-2,-3-1>\\\\RD=<3,0,-4>$

Y para el vector n, tomamos los coeficientes de x,y,z de la ecuación del plano, como las componentes del vector:

$-6x-22y+15z+35=0\\n=<-6,-22,15>$

La magnitud de n sería:

$||n||=\sqrt{(-6)^2+(-22)^2+15^2} =\sqrt{745}$

Sustituyendo:

$D=\frac{|<3,0,4>\bullet <-6,-22,15>|}{\sqrt{745} } \\\\D=\frac{|-18+0+60|}{\sqrt{745} } \\\\D=\frac{|42|}{\sqrt{745} }\\\\D=\frac{42}{\sqrt{745} } \approx 1.538\ unidades$

Respuesta: $D=\frac{42}{\sqrt{745} } \approx 1.538\ u$

¡Espero haberte ayudado, Saludos y éxito!