Question

Si f y g son funciones pares cualquiera, entonces f + g es siempre Par? Si son impares f+ g es siempre impar? Argumente su respuesta

Answer 1

Si f y g son funciones pares, entonces (f+g)(x) es siempre par. Y si f y g son  funciones impares, entonces (f+g)(x) es siempre impar.

Explicación:

En toda función par la gráfica tiene simetría axial con el eje de ordenadas, de modo que en toda función par se cumple que:

f(x)=f(-x)

Si planteamos (f+g)(x), podemos desglosar esta expresión como:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

Ahora, si aplicamos a las dos funciones la condición de paridad par tenemos que es:

$f(x)=f(-x)\\g(x)=g(-x)\\\\f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)\\(f+g)(x)=(f+g)(-x)$

De aquí podemos concluir que la suma de funciones pares da siempre como resultado una función par. Podemos verlo graficamente al sumar punto a punto dos funciones pares, al ver que el resultado guardará la simetría axial con el eje de ordenadas.

Ahora en las funciones impares la gráfica tiene simetría central respecto del origen, por lo que es:

f(x)=-f(-x)

Si aplicamos el mismo procedimiento tenemos:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

Y si aplicamos la condición de equivalencia para las funciones impares:

f(x)=-f(-x)

g(x)=-g(-x)

f(x)+g(x)=-f(-x)+(-g(-x))

f(x)+g(x)=-f(-x)-g(-x))=-(f(-x)+g(-x))

f(x)+g(x)=-(f+g)(-x)

De esta forma demostramos que también la suma de funciones impares da siempre una función impar.