Question

Si f(x + 1) = x^2 - 3x + 1, ¿cual es el valor de f(a)?

Answer 1

Vamos a suponer que la función tiene la forma

f(x)=ax²+bx+c

Entonces

f(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
f(x+1)=a(x²+2x+1)+bx+b+c
f(x+1)=ax²+2ax+a+bx+b+c

Ahora agrupamos términos semejantes.

f(x+1)=ax²+2ax+bx+a+b+c
f(x+1)=ax²+(2a+b)x+(a+b+c)

Ahora usamos el dato.

f(x+1)=x²-3x+1

Podemos establecer una igualdad.

ax²+(2a+b)x+(a+b+c)=x²-3x+1

Ahora podemos igualar coeficientes ya que ambas expresiones deben ser iguales.

a=1
2a+b=-3
a+b+c=1

Ahora podemos resolver el sistema de ecuaciones.

1)
a=1
El valor de "a"=1

2)
2a+b=-3
b=-3-2a
b=-3-2(1)
b=-3-2
b=-5
El valor de "b"=-5

3)
a+b+c=1
c=1-b-a
c=1-(-5)-(1)
c=1+5-1
c=5
El valor de "c"=5

Entonces la función es

f(x)=ax²+bx+c
f(x)=x²-5x+5

Esa es la función ahora la evaluamos en el valor indicado "a".

f(x)=x²-5x+5
f(a)=(a)²-5(a)+5
f(a)=a²-5a+5

Esa es la respuesta.

Answer 2

Si f(x + 1) = x² - 3 x + 1, entonces:

f(x) = (x - 1)² - 3 (x + 1) + 1 = x² - 2 x + 1 - 3 x - 3 + 1

f(x) = x² - 5 x + 5

Finalmente:

f(a) = a² - 5 a + 5

Verificamos haciendo a = x + 1

f(x + 1) = (x + 1)² - 5 (x + 1) + 5

f(x + 1) = x² + 2 x + 1 - 5 x - 5 + 5 = x² - 3 x + 1

Mateo