Question

Si f, g y h son funciones y p(x) = f(x) · g(x) · h(x), demuestre que si f 0 (x), g 0 (x), h 0 (x) existen, entonces p 0 (x) = f(x) · g(x) · h 0 (x) + f(x) · g 0 (x) · h(x) + f 0 (x) · g(x) · h(x).

Answer 1

Respuesta:

Por la definición de derivada, sabemos que:

f 0 (x) = lim h→0 (f(x + h) - f(x)) / h

g 0 (x) = lim h→0 (g(x + h) - g(x)) / h

h 0 (x) = lim h→0 (h(x + h) - h(x)) / h

Por lo tanto, si reemplazamos estas derivadas en la fórmula de derivada producto, tenemos:

p 0 (x) = lim h→0 (f(x)·g(x)·h(x + h) + f(x)·g(x + h)·h(x) + f(x + h)·g(x)·h(x) - f(x)·g(x)·h(x) - f(x)·g(x)·h(x) - f(x)·g(x)·h(x)) / h

Después de simplificar, esto se reduce a:

p 0 (x) = lim h→0 (f(x)·g(x)·h 0 (x) + f(x)·g 0 (x)·h(x) + f 0 (x)·g(x)·h(x)) / h

Como h→0, esto se reduce a:

p 0 (x) = f(x)·g(x)·h 0 (x) + f(x)·g 0 (x)·h(x) + f 0 (x)·g(x)·h(x)

Explicación paso a paso: