Question

Si eres aficionado a los juegos de lógica, te planteo tres problemas de progresiones. En la primera de las progresiones geométricas que te propongo, se pretende saber el número de cuadrados negros que acabaremos pintando al continuar la serie. En la segunda de las progresiones hemos invertido el problema, queriendo saber de nuevo el número de cuadrados negros que pintaremos al continuar la serie. Y, por último, en la tercera de las progresiones, hemos transformado el dibujo en una matriz de ceros y unos, queriendo averiguar en este caso el número de unos que escribiremos en la siguiente matriz al continuar la serie. Tres puntos de vista distintos de un mismo problema. ¿Serías capaz de encontrar el término general de la sucesión que determina el número de cuadrados negros (o de unos) de las siguientes progresiones geométricas (matriciales)? Te doy una pista por si te hace falta: No es mala idea contemplar por un lado las posiciones impares y por otro lado las pares.

Answer 1

Respuesta:

problema reasuelto en la (Pag 14.)

Explicación paso a paso:

espero que te ayude <3

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Answer 2

Observando el patrón nos podemos dar cuenta que, a medida de que se amplia el número de recuadros, se mantiene una figura en forma de X en el centro, formada con los recuadros blancos. Lo que nos permite deducir cual será el número de recuadros blancos y negros en cada ampliación.

Ahora, si queremos saber la distribución del 5° cuadro, del 10°, del 100°, no es necesario hacer todas estas ilustraciones; lo podemos determinar numéricamente.

Para el primer caso, vemos como es el crecimiento los recuadros negros.

Para el primero no hay ningún recuadro negro, para el segundo tenemos 4, para el tercero 16, para el cuarto 36. Lo planteamos como términos de una secuencia.

$a_{1}=0\\a_{2}=4\\a_{3}=16\\a_{4}=36$

Podemos notar que son una secuencia de números pares al cuadrado

$a_{1}=0=0^{2}\\a_{2}=4=2^{2}\\a_{3}=16=4^{2}\\a_{4}=36=6^{2}$

Expresamos entonces nuestra secuencia de términos, n, que avanza de 1 en 1, en número pares con la forma $i=2(n-1)$, probamos

$n=1; i=2*(1-1)=0\\n=2; i=2*(2-1)=2\\n=3; i=2*(3-1)=4\\n=4; i=2*(4-1)=6$

Unimos con la forma de nuestra secuencia, y tenemos que nuestros recuadros negros crecen en una serie con la forma:

$a_{n}=[2(n-1)]^{2}\\a_{n}=4(n-1)^{2}$

Ahora, invertidos los colores, vemos como la figura en forma de X en el centro está formada por recuadros negros. Vemos que en el primero hay 1, en el segundo hay 5, en el tercero 9, en el cuarto 13. Transformamos esto es nuestros términos,

$b_{1}=1\\b_{2}=5\\b_{3}=9\\b_{4}=13$

Donde podemos notar que se trata de una progresión aritmética, con primer término igual a 1 y razón igual a 4. Y, tratándose de una progresión aritmética, tenemos entonces definido nuestro término enésimo:

$b_{n}=b_{1}+(n-1)r\\b_{n}=1+4(n-1)$

Para el último, la distribución de unos es igual a la distribución de recuadros negros del primer caso, por lo cual se cumple la misma regla de progresión,

$u_{n}=4(n-1)^{2}$

más sobre progresiones y términos enésimos, https://brainly.lat/tarea/16800146