Question

Si en una cafetería en una orden se pagaron $175 por 3 piezas de rosca y 2 cafés. Y en otra orden fueron
$150 por 2 piezas de rosca y 3 cafés. ¿Cuál es el precio de cada pieza de rosca y de cada café?.

Answer 1

El precio de una pieza de rosca es de $ 45

El precio de un café es de $ 20

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema

Determinándolas en lo se ha pagado respectivamente por cada una de las dos órdenes que se han realizado en la cafetería

Llamamos variable "x" al precio de una pieza de rosca y variable "y" al precio de un café

Donde sabemos que:

Para una orden realizada en la cafetería se adquirieron 3 piezas de rosca y 2 cafés pagando por esto un importe total de $ 175

Y donde en otra orden efectuada en la cafetería se compraron 2 piezas de rosca y 3 cafés, a los mismos valores, abonando por ello un importe total de $ 150

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Para establecer la primera ecuación sumamos 3 piezas de rosca y 2 cafés y la igualamos a la cantidad abonada por una orden realizada en la cafetería de $ 175

$\large\boxed {\bold {3 x \ +\ 2y =175 }}$            $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Luego para establecer la segunda ecuación sumamos 2 piezas de rosca y 3 cafés y la igualamos al monto pagado para la otra orden efectuada en la cafetería

$\large\boxed {\bold {2x \ + \ 3y = 150 }}$            $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Luego despejamos x en la segunda ecuación

En

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {2x \ + \ 3y = 150 }}$

Despejamos x

$\boxed {\bold {2 x = 150\ -\ 3y }}$

$\boxed {\bold { \frac{\not2x}{\not2} = \frac{150}{2} -\ \frac{3y}{2} }}$

$\large\boxed {\bold { x = 75 -\ \frac{3y}{2} }}$                    $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold { x = 75 -\ \frac{3y}{2} }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 1 }$

$\large\boxed {\bold {3 x \ +\ 2y =175 }}$

$\boxed {\bold {3 \ . \left(75-\frac{3y}{2} \right) \ +\ 2y =175 }}$

$\boxed {\bold {225 -\frac{9y}{2} \ +\ 2y =175 }}$

$\boxed {\bold {225 -\frac{9y}{2} \ +\ 2y\ . \ \frac{2}{2} = 175 }}$

$\boxed {\bold {225 -\frac{9y}{2} \ +\ \frac{4y}{2} = 175 }}$

$\boxed {\bold {225 -\frac{5y}{2} = 175 }}$

$\boxed {\bold { -\frac{5y}{2} + 225 = 175 }}$

$\boxed {\bold { -\frac{5y}{2} = 175 -225}}$

$\boxed {\bold { -\frac{5y}{2} = -50}}$

$\boxed {\bold { -\frac{5y}{2} \ . \ (-1) = -50 \ . \ (-1) }}$

$\boxed {\bold { \frac{5y}{2} = 50}}$

$\boxed {\bold {\frac{\not2}{\not5} \ . \ \frac{\not5y}{\not2} =\frac{2}{5} \ . \ 50}}$

$\boxed {\bold {y =\frac{2}{5} \ . \ 50}}$

$\boxed {\bold {y =\frac{100}{5} }}$

$\large\boxed {\bold { y = 20 }}$

El precio de un café es de $ 20

Hallamos el precio de una pieza de rosca

Reemplazando el valor hallado de y en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold { x = 75 -\ \frac{3y}{2} }}$

$\boxed {\bold { x = 75 -\ \frac{ \ 3\ . \ 20}{2} }}$

$\boxed {\bold { x = 75 -\ \frac{ 60}{2} }}$

$\boxed {\bold { x = 75 -\ \ 30 }}$

$\large\boxed {\bold { x = 45 }}$

El precio de una pieza de rosca es de $ 45

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {3 x \ +\ 2y =\ \ 175 }}$

$\bold { 3 \ piezas \ rosca \ . \ \ \ 45 \ +\ 2 \ cafes \ . \ \ \ 20 = \ \ 175 }$

$\bold {\ \ 135\ + \ \ \ 40 = \ \ 175}$

$\boxed {\bold {\ \ 175 = \ \ 175 }}$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {2x \ + \ 3y = \ \ 150 }}$

$\bold { 2 \ piezas \ rosca \ . \ \ \ 45 \ +\ 3 \ cafes \ . \ \ \ 20 = \ \ 150 }$

$\bold {\ \ 90\ + \ \ \ 60 = \ \ 150}$

$\boxed {\bold {\ \ 150= \ \ 150}}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$