Question

si en un triángulo rectángulo el cateto adyacente al ángulo que mide 25° es 8 cm Entonces el otro cateto y el otro ángulo agudo mide​

Answer 1

El cateto denotado como "b" mide aproximadamente 3.730 centímetros

El ángulo faltante tiene un valor de 65°

La hipotenusa "c" mide aproximadamente 8.827 centímetros

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Empleamos la notación habitual para los triángulos rectángulos

Donde conocemos el ángulo B de 25° y el valor del cateto denotado como "a" de 8 centímetros

Siendo el cateto "a" el cateto adyacente al ángulo agudo conocido y si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Hallamos el valor del cateto "b" mediante la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(25)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(25)^o =\frac{b }{ a } }}$

$\boxed { \bold { tan(25)^o =\frac{ b }{ 8 \ cm } }}$

$\boxed { \bold {b = 8 \ cm\ . \ tan(25)^o }}$

$\boxed { \bold {b = 8 \ cm\ . \ 0.4663076581549 }}$

$\boxed { \bold {b = 3.7304612 \ cm }}$

$\large\boxed { \bold {b \approx 3.730\ cm }}$

El cateto "b", opuesto al ángulo dado, mide aproximadamente 3.730 centímetros

Hallamos el valor del ángulo faltante A

Como la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Siendo el triángulo rectángulo uno de sus ángulos es un ángulo recto, es decir de 90°

Por enunciado conocemos el valor de uno de los dos ángulos agudos del triángulo rectángulo, el cual es de 25°

Planteando

$\boxed { \bold {180^o = 90^o + 25^o + A }}$

$\boxed { \bold {A= 180^o - 90^o - 25^o }}$

$\large\boxed { \bold {A= 65^o }}$

El ángulo faltante del triángulo rectángulo tiene un valor de 65°

Aunque el enunciado no lo pida resolvemos todo el triángulo rectángulo calculando la magnitud de la hipotenusa

Conocemos el ángulo B de 25° y el valor del cateto denotado como "a" de 8 centímetros

Siendo el cateto "a" el cateto adyacente al ángulo agudo conocido y si el coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa

Hallamos el valor de la hipotenusa "c" mediante el coseno del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { cos(25)^o = \frac{ cateto \ adyacente }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { cos(25)^o =\frac{a }{ c } }}$

$\boxed { \bold { cos(25)^o =\frac{ 8 \ cm }{ c } }}$

$\boxed { \bold { c =\frac{ 8 \ cm }{ cos(25)^o } }}$

$\boxed { \bold { c =\frac{ 8 \ cm }{ 0.9063077870366 } }}$

$\boxed { \bold {c = 8.8270233 \ cm }}$

$\large\boxed { \bold {c \approx 8.827\ cm }}$

La hipotenusa "c" mide aproximadamente 8.827 centímetros

Se agrega gráfico para una mejor comprensión de las relaciones entre los lados y los ángulos planteada