Question

Si en un cilindro de 8 m de radio y 3 metros de altura añadimos una cierta cantidad al radio se obtendrá el mismo volumen que si se añade esa misma cantidad a la altura. Determina esa cantidad que hace que los volúmenes sean iguales y cuáles son los volúmenes inicial y final del cilindro. b. En una pirámide de base cuadrada, de lado a y altura h, expresa la medida de la arista en función del lado y la altura.

Answer 1

Si en un cilindro de 8 m de radio y 3 metros de altura añadimos una cierta cantidad al radio se obtendrá el mismo volumen que si se añade esa misma cantidad a la altura. Determina esa cantidad que hace que los volúmenes sean iguales y cuáles son los volúmenes inicial y final del cilindro.

B) En una pirámide de base cuadrada, de lado a y altura h, expresa la medida de la arista en función del lado y la altura.

Hola!!!

Sabemos que el Volumen de un Cilindro:

V = π×R²×h

V = π×8²×3

V = 192π

Añadimos al Radio la Cantidad " x "  ⇒ Volumen queda dado por:

V = π×(R + x)²×h

V = π×(8 + x)²×3

V = π×(64 + 16x + x²)×3

V = π×(192 + 48x + 3x²)     ( i )

Añadimos a la Altura la Cantidad " x "  ⇒ Volumen queda dado por:

V = π×R²×(h + x)

V = π×8²×(3 + x)

V = π×64(3 + x)

V = π×(192 + 64x)   ( ii )

Para que los Volúmenes sean iguales debemos  igualar la ecuación ( i ) = ( ii ):

V = π×(192 + 48x + 3x²)     ( i )

V = π×(192 + 64x)              ( ii )   ⇒

π×(192 + 48x + 3x²)  = π×(192 + 64x)   ⇒

48x + 3x² = 64x

3x² = 64x - 48x

3x² = 16x

3x² - 16x = 0

x(3x - 16) = 0 ⇒ Factor Nulo

x = 0  ⇒ No

3x - 16 = 0

x = 16/3             Cantidad hace que los V sean iguales

Verifico:

V = π×(R + x)²×h

V = π×(8 + 16/3)²×3 ⇒

V = 533,3π

V = π×R²×(h + x)

V = π×8²×(3 + 16/3) ⇒

V = π×64×8,3333) ⇒

V = 533,3π    Verifica!!!

Volumen inicial del Cilindro:   V = 192π

Volumen final del Cilindro:      V = 533,3π

B)

Sabemos que la Arista lateral de la pirámide la hallamos por Teorema de Pitágoras (ver archivo gráfico adjunto) y podemos hallar la mitad de la diagonal de la base cuadrada:

1/2 Diagonal del Cuadrado: R = a√2/2

Arista de la Piramide:

b = √h² + a²/2

Espero haber contribuido!!

Saludos!!!