Question

Si el tercer término menos el sexto término de una progresión geométrica es 26 y el cociente 27, cual es el primer término.

Answer 1

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA - ECUACIONES

Ejercicio

Si el tercer término menos el sexto término de una progresión geométrica es 26 y el cociente 27, ¿cuál es el primer término?

Coloquemos "a" al tercer término y "b" al sexto término.

Entonces, según el enunciado:

$\mathsf{a - b = 26}$ ....................(1)

Además, su cociente es 27:

$\mathsf{a \div b = 27}$ ....................(2)

Si despejamos "a" en (2), tenemos:

$\boxed{\textsf{a = 27b}}$ ....................(3)

Reemplazamos (3) en (1):

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{a}} - b = 26}\\\\\mathsf{27b - b = 26}$

Restamos las "b":

$\mathsf{27b - b = 26}\\\\\mathsf{26b = 26}\\\\\mathsf{b = 26 \div 26}\\\\\boxed{\mathsf{b = 1}}$

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Ahora, hallamos "a", reemplazamos el valor de "b" en cualquier expresión:

$\mathsf{a - b = 26}\\\\\mathsf{a - 1 = 26}\\\\\mathsf{a = 26 + 1}\\\\\boxed{\mathsf{a = 27}}$

El tercer término es 27 y el sexto es 1.

     

Entonces, la progresión geométrica que tenemos hasta ahora es:

___, ___, 27, ___, ___, 1

  1°      2°   3°     4°     5°  6°

De esto, deducimos que la progresión decrece.

     

Para calcular el primer término, primero debemos hallar de cuánto en cuánto decrece (razón). Para eso, aplicamos la fórmula del término general de una progresión geométrica, la cual es:

$\large{\boxed{\mathsf{a_{n} = a_{1} \cdot r^{n-1}}}}$

Donde a₁ es el primer término, r es la razón, n es el número de términos.

   

En la sucesión, no conocemos el primer término, por eso, tomamos una mini-secuencia, y hacemos que 27 sea el primer término, y 1 sea el cuarto y último término.

27, ___, ___, 1

1°     2°     3°  4°

Reconozcamos los datos:

• a₁ = 27
• $\mathsf{a_{n}}$ = 1
• n = 4
• r = ¿?

Reemplazamos en la fórmula y resolvemos:

$\mathsf{a_{n} = a_{1} \cdot r^{n-1}}$

$\mathsf{1 = 27 \cdot r^{4-1}}$

$\mathsf{1 = 27 \cdot r^{3}}$

$\mathsf{\dfrac{1}{27} = r^{3}}$

$\mathsf{\sqrt[3]{\dfrac{1}{27}} = r}$

$\mathsf{\dfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}} = r}$

$\boxed{\mathsf{\dfrac{1}{3} = r}}$

La razón es 1/3. Esto significa que se multiplica un término por 1/3 para obtener el siguiente.

     

Ahora que conocemos la razón, hallamos el primer término. Reemplazamos los datos de la progresión inicial:

___, ___, 27, ___, ___, 1

  1°      2°   3°     4°     5°  6°

• a₁ = ¿?
• $\mathsf{a_{n}}$ = 1
• n = 6
• r = 1/3

Reemplazamos en la fórmula:

$\mathsf{a_{n} = a_{1} \cdot r^{n-1}}$

$\mathsf{1 = a_{1} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{6-1}}$

$\mathsf{1 = a_{1} \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{5}}$

$\mathsf{1 = a_{1} \cdot \left(\dfrac{1^{5}}{3^{5}}}\right)}$

$\mathsf{1 = a_{1} \cdot \dfrac{1}{243}}$

$\mathsf{1 \cdot 243 = a_{1} \cdot 1}$

$\large{\boxed{\mathsf{243 = a_{1}}}}$

     

Respuesta. El primer término es 243.