Si el primer término de una sucesión aritmética es 1; la diferencia es 2, y la suma de los “n” primeros términos es 900, ¿cuántos términos se han sumado de esa sucesión?
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Pues habrá que usar las dos fórmulas más utilizadas en progresiones aritméticas que son:
La de hallar el término general:
an = a₁ + (n-1) · d ... sustituyendo "d" y "a₁"...
an = 1 + (n-1) · 2 = 1 +2n -2 = 2n-1
... o sea que nos queda la ecuación con dos incógnitas...
an = 2n - 1
Ahora se recurre a la fórmula de suma de términos (Sn) de una PA. que dice:
Sn = (a₁ + an) · n / 2 ... sustituyendo lo que sabemos...
900 = (1 + an) · n / 2 ... eliminando el denominador...
1800 = (1 + an) · n
...que es la otra ecuación que faltaba del sistema.
Sustituyo an de la primera en la segunda...
1800 = (1 + 2n - 1) · n -----------> 1800 = 2n · n -------> 1800 = 2n² ... despejando
n² = 1800 / 2 = 900 ----------> n = √900 = 30 es la respuesta.
La de hallar el término general:
an = a₁ + (n-1) · d ... sustituyendo "d" y "a₁"...
an = 1 + (n-1) · 2 = 1 +2n -2 = 2n-1
... o sea que nos queda la ecuación con dos incógnitas...
an = 2n - 1
Ahora se recurre a la fórmula de suma de términos (Sn) de una PA. que dice:
Sn = (a₁ + an) · n / 2 ... sustituyendo lo que sabemos...
900 = (1 + an) · n / 2 ... eliminando el denominador...
1800 = (1 + an) · n
...que es la otra ecuación que faltaba del sistema.
Sustituyo an de la primera en la segunda...
1800 = (1 + 2n - 1) · n -----------> 1800 = 2n · n -------> 1800 = 2n² ... despejando
n² = 1800 / 2 = 900 ----------> n = √900 = 30 es la respuesta.
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