Question

si el octavo termino de una sucesión aritmetica es 90 y el vigésimo termino es 54. encontrar el primer termino a1 y la diferencia comun d, asi como la formula para su sucesion. ¿cual es el n-esimo termino de la sucesion?

Answer 1

Si el 8º termino de una sucesión aritmética es 90 y el 20º termino es 54, encontrar el 1º termino a₁ y la diferencia común d, así como la fórmula para su sucesión. ¿Cuál es el n-ésimo término de la sucesión?

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Nos dan el valor de dos términos cualquiera de esa progresión aritmética PA separados por una cantidad "m" de términos entre ellos. En este caso, entre el 8º y el 20º término hay 11 términos intercalados.

Se acude a la fórmula de interpolación de términos de una PA que nos valdrá para conocer la diferencia "d" entre términos consecutivos y donde conocemos los datos:

• m = 11 términos intercalados
• a = término menor en orden, en este caso, el 8º término = 90
• b = término mayor en orden, en este caso, el 20º término = 54

La fórmula dice:  

$d=\dfrac{b-a}{m+1} =\dfrac{54-90}{11+1} =\dfrac{-36}{12} =-3$

Respuesta a la pregunta sobre la diferencia común, d = -3

Conociendo la diferencia "d", acudo a la fórmula del término general de cualquier PA y tengo:   $a_n=a_1+(n-1)*d$

En este caso tomaré el valor del octavo término y será,  an = a₈ = 90 y sustituiré valores en esa fórmula despejando  a₁ ...

$90 = a_1+(8-1)*-3\\ \\ a_1=90-(-21) = 111$

Siguiente respuesta: el valor de a₁ = 111

Las dos últimas preguntas son la misma. El término n-ésimo es justamente la fórmula específica para esta progresión. Para ello se parte de esa fórmula indicada arriba y se sustituye  "a₁"  y  "d"

$a_n=111+(n-1)*-3\\ \\ a_n=111-3n+3\\ \\ a_n=114-3n$

Y ahí queda la respuesta a las dos últimas preguntas. Con esa fórmula específica para esta PA, cualquier valor que le demos a "n" será el nº de orden que ocupe ese término en la progresión y al operar nos saldrá el valor de dicho término. Por ejemplo:

Si quiero saber el valor del término 10º (a₁₀) de esa PA sólo tengo que sustituir ahí y me queda:

a₁₀ = 114 - 3*10 = = 114 - 30 = 84

Saludos.

Answer 2

El n-esimo término de la sucesión, que describe el problema, es:

aₙ = 111 - 3(n - 1)

¿Qué es una progresión aritmética?

Una progresión es una sucesión con características distintivas.

Una progresión aritmética se caracteriza por tener un diferencial que es la diferencia de dos términos consecutivos, siempre es igual.

aₙ = a₁ + d(n - 1)

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Es un arreglo de ecuaciones que se caracteriza por tener el mismo número de incógnitas que de ecuaciones.

Existen diferentes métodos para su resolución:

• Sustitución: se despeja de una ecuación una variable, quedando en función de otra para luego sustituirla en otra ecuación y así obtener
• Igualación: se despeja la misma variable en dos de las ecuaciones y se igualan los resultados.
• Eliminación: se resta o suman dos ecuaciones para que quede un resultado en función una variable y así despejarla.
• Gráfico: se grafican las rectas y el punto de intersección es la solución del sistema.

¿Cuál es el n-esimo término de la sucesión?

Definir;

• a₁: primer término
• d: diferencia común

Ecuaciones:

1. 90 = a₁ + 7d
2. 54 = a₁ + 19d

Aplicar método de eliminación;

Restar 1 - 2;

90 =  a₁ + 7d

-54 = - a₁ - 19d

36 = -12d

Despejar d;

d = -36/12

d = -3

Sustituir;

a₁ = 90 - 7(-3)

a₁ = 111

El n-esimo término de la sucesión es:

aₙ = 111 - 3(n - 1)

Puedes ver más sobre progresión aritmética y sistemas de ecuaciones aquí:

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