Question

Si el costo de mantención de una empresa se determina con la función f(x)= – x^2 + 2x + 8, donde x es el número de artículos diarios producidos ¿Cuál será el número de artículos diarios que se deben producir para obtener el máximo costo de mantención?

Answer 1

Primero asignemos variables: Independiente: articulos producidos diarios (x)
Dependiente: costo de mantención (y)
Bueno, la función -x^2 + 2x + 8 corresponde a la ecuación de una parábola con foco en y positiva.
Ahora, bien, lo que nos pide es un máximo lo que en este caso correspondería al foco de la parabóla. Por lo tanto, tendríamos que averiguar la coordenada x de éste.

Ahora, en este caso sacaré el foco (en este caso un máximo) usando las derivadas de la función:
Paso 1: Derivar la función f(x) 
Si f(x) = -x^2 + 2x + 8 entonces f´(x)= -2x+2
Paso 2: Igualamos a cero la derivada y sacamos raíces
Si f´(x) = -2x + 2 = 0 
Los valores que puede tener x para cumplir la igualdad se sacarían con despejes:
-2x = -2 
x=-2/-2 
x=1 Aquí tenemos la raíz  
Paso 3: Comprobar que la raíz (x=1) sea un máximo o un mínimo con ayuda de la segunda derivada. 
f´(x) = -2x + 2 entonces f"(x) = -2  
Nota: Observa que la segunda derivada nos da un solo valor y este es negativo, por lo tanto tenemos solamente un máximo. 
Paso 4: En tu caso, ya tenemos descubierta la coordenada x (x = 1) del punto máximo  (qué es la respuesta a tu ejercicio) pero ya que estamos  saquemos y: Sustituyamos la raíz obtenida anteriormente en la función original.
f(1)= -(1)^2+2(1)+8 
f(1) = -1 + 2 + 8 = 9

Por lo tanto, tu foco (en este caso punto máximo) se encuentra en las coordenadas (1,9) Teniendo como respuesta a tu pregunta el valor 1. Ya que cuando la variable indepediente es 1 la variable dependiente (y) tiene su máximo valor que es 9. Puedes comprobar esto graficando tu función con geogebra. Es todo saludos.