Question

Si el 20% de los tornillos que se fabrican con una máquina están defectuosos, determinar por
distribución binomial la probabilidad de que de 4 tornillos elegidos al azar:
a) 1 tornillo esté defectuoso
b) 0 tornillos estén defectuosos
c) cuando mucho 2 tornillos estén defectuosos.​

Answer 1

Respuesta:

Explicación:

La probabilidad de encontrar un tornillo defectuoso es =0.2 y la probabilidad de encontrar uno no defectuoso es q=1-p=0.8  

A) un tornillo este defectouso

p(x)=4!/1!(4-1)! (〖0.2〗^1 )(〖0.8〗^(4-1) )=24/6  (0.2)(〖0.8〗^3 )=(4)(0.2)(0.512)=0.4096

B) 0 tornillos defectousos

p(x)=4!/0!(4-0)! (〖0.2〗^0 )(〖0.8〗^(4-0) )=24/24  (1)(〖0.8〗^4 )=(1)(1)(0.4096)=0.4096

c) Cuando mucho 2 esten defectuosos

p(x)=4!/2!(4-2)! (〖0.2〗^2 )(〖0.8〗^(4-2) )=24/4  (0.04)(〖0.8〗^2 )=(6)(0.04)(0.64)=0.1536

Answer 2

Dado que el número de tornillos defectuosos en la muestra sigue una distribución binomial, hay una probabilidad de   0.9728   de que cuando mucho  2  tornillos, de la muestra de  4,  estén defectuosos.

¿Cuándo una variable aleatoria tiene distribución binomial?

La variable aleatoria  X  que es igual al número de ensayos de Bernoulli donde el resultado es un éxito  (p), tiene una Distribución Binomial con parámetros  p  y  n  =  1,  2,  3, ...

La Probabilidad de    X  =  x    es:

$\bold{P(X~=~x)~=~(\begin{array}{c}n\\x\end{array}) p^x (1~-~p)^{(n~-~x)}}$

donde           $\bold{(\begin{array}{c}n\\x\end{array})~=~\dfrac{n!}{(n~-~x)!~x!}}$       es el número combinatorio.

En el caso que nos ocupa definimos la variable aleatoria binomial

X  =  Número de tornillos defectuosos en la muestra

p  =  0,2    (20%)

n  =  4

Probabilidad que  1  tornillo esté defectuoso

Se desea hallar la probabilidad de que     x  =  1:

$\bold{P(x~=~1)~=~(\begin{array}{c}4\\1\end{array}) (0.2)^1 (1~-~0.2)^{(4~-~1)}\qquad \Rightarrow}$

P(x  =  1)  =  0.4096

Hay una probabilidad de   0.4096   de que  1  tornillo, de la muestra de  4,  esté defectuoso.

Probabilidad que   0  tornillos estén defectuosos

$\bold{P(x~=~0)~=~(\begin{array}{c}4\\0\end{array}) (0.2)^0 (1~-~0.2)^{(4~-~0)}\qquad \Rightarrow}$

P(x  =  0)  =  0.4096

Hay una probabilidad de   0.4096   de que ningún tornillo, de la muestra de  4,  esté defectuoso.

Probabilidad que cuando mucho 2 tornillos estén defectuosos

En este caso, se quiere la suma de las dos anteriores y que  x  sea  2

P(x  <  3)  =  P(x  =  0)  +  P(x  =  1)  +  P(x  =  2)

$\bold{P(x~ < ~3)~=~0.4096~+~0.4096~+~(\begin{array}{c}4\\2\end{array}) (0.2)^2 (1~-~0.2)^{(4~-~2)}\qquad \Rightarrow}$

P(x  <  3)  =  0.9728

Hay una probabilidad de   0.9728   de que cuando mucho  2  tornillos, de la muestra de  4,  estén defectuosos.

Tarea relacionada:

Distribución binomial                https://brainly.lat/tarea/13568091

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