Question

Si dos partículas como electrón y protón tienen la misma energía cinética: ¿Cuál tiene menor longitud de onda de Broglie? Justifique su respuesta desde la parte Física. Enunciado del ejercicio: Un haz de electrones es dispersado con una longitud de onda de De Broglie de 32 pm. ¿Cuál es el valor de la rapidez que lleva cada electrón? Si el haz que es dispersado son fotones como puede variar la rapidez en comparación con la de los electrones

Answer 1

Si un electrón y un protón tienen la misma energía cinética, el protón tendrá la menor longitud de onda de de Broglie, porque tiene menor cantidad de movimiento. Si los electrones son dispersados con una onda de materia de 32 pm, la velocidad promedio es de $2,27\times 10^{7}\frac{m}{s}$, si fueran fotones, su velocidad seguiría siendo la de la luz.

¿Qué partícula tiene la mayor longitud de onde de De Broglie?

La longitud de onda de De Broglie está ligada a la cantidad de movimiento de la partícula. La longitud de la onda de materia es inversamente proporcional a la cantidad de movimiento, por lo que la partícula con mayor cantidad de movimiento tendrá la menor longitud de onda de De Brogile.

Si la energía cinética del protón y del electrón son iguales, la relación entre las velocidades es:

$E_C=\frac{1}{2}m.v^2\\\\\frac{1}{2}m_P.v_P^2=\frac{1}{2}m_E.v_E^2\\\\m_P.v_P^2=m_E.v_E^2\\\\v_P^2=\frac{m_E}{m_P}.v_E^2\\\\v_P=\sqrt{\frac{m_E}{m_P}}v_E\\\\v_P=\sqrt{\frac{9,11\times 10^{-31}kg}{1,67\times 10^{-27}kg}}v_E=0,0234V_E$

La cantidad de movimiento del protón en función de la velocidad del electrón es:

$P_P=m_P.v_P=1,67\times 10^{-27}kg.0,0234v_E=3,9\times 10^{-29}kg.v_E$

Y la del electrón en función de la misma velocidad es:

$P_E=m_E.v_E=9,11\times 10^{-31}kg.v_E=9,11\times 10^{-31}kg.v_E$

La cantidad de movimiento del protón es dos órdenes de magnitud mayor que la del electrón, por lo que el protón es el que tiene la menor longitud de onda de de Broglie.

¿Cuál es la rapidez de los electrones dispersados?

Si los electrones son dispersados con una onda de materia de 32 pm, debemos aplicar la expresión de de Broglie para hallar su velocidad:

$p=\frac{h}{\lambda}\\\\mv=\frac{h}{\lambda}\\\\v=\frac{h}{m.\lambda}=\frac{6,626\times 10^{-34}Js}{9,11\times 10^{-31}kg.3,2\times 10^{-11}m}=2,27\times 10^{7}\frac{m}{s}$

Esa es la velocidad promedio de los electrones, si el haz dispersado son fotones, estas partículas siguen moviéndose a la velocidad de la luz, ya que al no tener masa, no tienen ondas de materia asociadas.

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