Si () = + + , demuestre que → (+)−() = +
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Ejercicio 1 Est´udiese en qu´e puntos de C la siguiente funci´on es R-diferenciable, en cu´ales
se verifican las condiciones de Cauchy-Riemann, en cu´ales es C-diferenciable y si es holomorfa en alg´un abierto, calculando la derivada en los puntos en que ´esta exista:
h(z) = x
x2+y
2 − i
y
x2+y
2 si (x, y) 6= (0, 0) y 0 en otro caso.
Soluci´on. En primer lugar, podemos identificar el plano complejo C con el plano real de
dos dimensiones R
2 de una forma natural mediante la aplicaci´on que a cada par (x, y) ∈
R
2
le asocia x + iy ∈ C. Haciendo esta identificaci´on, podemos interpretar una funci´on de
una variable compleja en t´erminos de dos funciones reales de dos variables reales. Es decir,
identificando z = x+iy con (x, y) podemos entender una funci´on f(z) como u(x, y)+iv(x, y).
Las funciones u, v : R
2 → R reciben el nombre de parte (o componente) real e imaginaria
respectivamente de la funci´on f.
Sabemos que una funci´on f : R
2 → R
2
es R-diferenciable si lo son ambas componentes, y
ser´a C-diferenciable si y s´olo si, adem´as, se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann. En
este caso el valor de la derivada en un punto viene dado por:
f
0
(z) =∂u
∂x + i
∂v
∂x =
∂u
∂x − i
∂u
∂y =
=
∂v
∂y − i
∂u
∂y =
∂v
∂y + i
∂v
∂x.
Estudiemos qu´e ocurre con la funci´on h(z). Sean u(x, y) = x
x2+y
2 y v(x, y) = −y
x2+y
2 .
Entonces
∂u
∂x =
−x
2 + y
2
(x
2 + y
2)
2
,
∂u
∂y =
−2xy
(x
2 + y
2)
2
,
∂v
∂x =
2xy
(x
2 + y
2)
2
,
∂v
∂y =
−x
2 + y
2
(x
2 + y
2)
2
.
luego las derivadas parciales existen y son continuas (en todo punto salvo en 0), con lo que
h es una funci´on R-diferenciable en R
2 \ {0}. Adem´as se cumplen las condiciones de CauchyRiemann pues
∂u
∂x =
−x
2 + y
2
(x
2 + y
2)
2
=
∂v
∂y ,
∂u
∂y =
2xy
(x
2 + y
2)
2
= −
∂v
∂x,
luego h es una funci´on C-diferenciable en C \ {0}.
Justifiquemos la afirmaci´on realizada de que la funci´on no es siquiera R-diferenciable en
(0, 0). En este caso tendr´ıamos que los l´ımites
l´ım
h→0
u(h, 0) − u(0, 0)
h
= l´ım
h→0
1
h
2
,
l´ım
h→0
v(0, h) − v(0, 0)
h
= l´ım
h→
espero que te sirvio corinta plis